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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

d) y ' - 6 x y = 2 x y 2

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Nós percebemos que essa EDO é de Bernoulli. Por que? Cara, ela é muito parecida com uma EDO linear, mas tem um y elevado a expoente maior que um do lado direito em produto com a função de x .

y ' - 6 x y = 2 x y 2

Percebe que ela tem essa forma aqui:

y ' + P x y = Q x ⋅ y α

Que é a forma de uma EDO de Bernoulli mesmo! Repara que esse y α corresponde ao nosso y 2 . Vem comigo!

Passo 2

Para começar a resolver essa belezura, a gente vai dividir tudo pelo nosso y α , ou seja, por y 2 :

y ' y 2 - 6 x y y 2 = 2 x y 2 y 2 ∴ y ' y - 2 - 6 x y - 1 = 2 x

Aí a gente faz uma substituição de variáveis do tipo u = y 1 - α , como no nosso caso α = 2 :

u = y 1 - 2 = y - 1

Vamos usar a regra da cadeia para derivar esse termo porque y já é uma função de x , aí ali a gente tem uma função composta:

u ' = - 1 y - 2 ⋅ y ' = - y - 2 y ' ∴ - u ' = y - 2 y '

Substituindo na EDO:

y ' y - 2 - 6 x y - 1 = 2 x ∴ - u ' - 6 x u = 2 x

u ' + 6 x u = - 2 x

Agora temos uma EDO linear para resolver! Bora lá!

Passo 3

Então agora a gente vai comparar ela com:

d u d x + A x   u = B ( x )

Daí a gente pode chamar:

A x = 6 x ,     B x = - 2 x

Com isso, a gente acha o fator integrante:

I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 6 x d x = 3 x 2

I x = e 3 x 2

Passo 4

Aí temos uma fórmulinha para a solução:

u x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

∴

u x = 1 e 3 x 2 ∫ e 3 x 2 ⋅ - 2 x   d x + C

u ( x ) = 1 e 3 x 2 - ∫ 2 x e 3 x 2 d x + C

Fazendo a substituição t = 3 x 2 , a gente acha:

u ( x ) = 1 e 3 x 2 - e 3 x 2 3 + C

u x = - 1 3 + C e 3 x 2

Acabou? Pior que não haha

Passo 5

Nossa EDO estava em função de y , certo? A gente precisa então voltar para essa variável. Lembrando que fizemos

u = y - 1

Aí ficamos com

u x = - 1 3 + C e 3 x 2

∴

y - 1 = - 1 3 + C e 3 x 2 = - e 3 x 2 + C 3 e 3 x 2

y ( x ) = 3 e 3 x 2 - e 3 x 2 + C

Prontinho!

Resposta

y ( x ) = 3 e 3 x 2 - e 3 x 2 + C

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