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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Resolva a equação diferencial de Bernoulli

x y ' - y 2 ln ⁡ x = y 2

Passo 1

Vamos manipular algebricamente essa equação para colocarmos ela na forma que conhecemos da equação de Bernoulli

x y ' - y 2 ln ⁡ x = y 2 ⇒ y ' - y 2 ln ⁡ x x = y 2 x

Pronto agora ela está bonitinha do jeito que a gente quer.

y ' - 1 2 x ln ⁡ x y = 1 x y 2

Passo 2

Vamos começar a resolver a equação agora. A primeira coisa a fazer é dividir toda equação por y 2 , que é a mesma coisa de multiplicar por y - 2 .

y - 2 y ' - 1 2 x ln ⁡ x y y - 2 = 1 x y 2 y - 2

y - 2 y ' - 1 2 x ln ⁡ x y - 1 = 1 x

Passo 3

Fazendo agora a substituição t = y - 1 que implica em t ' = - y - 2 y ' ficamos com

- t ' - 1 2 x ln ⁡ x t = 1 x

t ' + 1 2 x ln ⁡ x t = - 1 x

E como já era de se esperar, a equação virou linear. Que resolvemos com uma fórmula conhecida.

Passo 4

Agora basta resolver essa EDO linear

t ' + 1 2 x ln ⁡ x t = - 1 x

Que é do tipo

t ' + A x t = B ( x )

A solução disso aí é

t x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Com I x = e ∫ A x d x

(Se isso te parece estranho, dá uma olhada no nosso material de EDO linear de 1ª ordem 😉)

Calculando ∫ A x d x

∫ 1 2 x ln ⁡ x d x = 1 2 ∫ 1 x ln ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ x 1 2

Como raiz já impõem que a função tem que ser maior que zero, vamos tirar o módulo.

Logo I ( x ) é

I ( x ) = e ln ⁡ ln ⁡ x 1 2 = ln ⁡ x 1 2

Calculando ∫ I x B x d x :

∫ I x B x d x = ∫ ln ⁡ x 1 2 ⋅ - 1 x d x = - ∫ ln ⁡ x . 1 x d x ∫ I x B x d x = - 2 3 ln ⁡ x 3

OBS: Para resolver a integral ∫ ln ⁡ x . 1 x d x faça uma substituição simples:

w = ln ⁡ x → d w = 1 x d x

Então, continuando:

t = 1 I x ∫ I x B x d x + C = 1 ln ⁡ x   - 2 3 ln ⁡ x 3 + C

t x = - 2 3 ln ⁡ x + C ln ⁡ x - 1 / 2  

Passo 5

Voltado para a variável y

t = y - 1 → y = t - 1

y = - 2 3 ln ⁡ x + C ln ⁡ x - 1 / 2 - 1

Resposta

y = - 2 3 ln ⁡ x + C ln ⁡ x - 1 / 2 - 1

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