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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV1 - Profº Andrey - 2022.2, Questão 4

4) Suponha que uma certa população y t tem uma taxa de aumento que satisfaz a equação

d y d t = 2 - y y

Se y ( 0 ) = 1 / 2 , determine o prazo T , após o qual a população duplicará, y T = 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter a solução especifica da EDO d y d t = 2 - y y → y ' - 2 y = - y 2

Sabendo que y ( 0 ) = 1 / 2 .

A partir daí queremos obter o tempo T que y T = 1 .

Parece complicado, né? 😬

Pela estrutura da EDO, podemos resolver nossa EDO a partir da equação de Bernoulli.

Dada uma EDO y ' + P t y = Q t y n se n ≠ 0 e n ≠ 1 podemos calcular a solução da EDO primeiramente dividindo toda a equação por y n e fazer u = y 1 - n que deve ser obtido em algum lugar.

Assim, calculamos u ' a partir da regra da cadeia e substituímos na EDO para encontrar uma EDO linear.

Depois de obter a solução da EDO linear, voltamos para y usando a relação u = y 1 - n

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

No nosso caso, n = 2 , então dividindo toda a EDO por y 2

y ' y 2 - 2 y y 2 = - y 2 y 2

y ' y 2 - 2 y - 1 = - 1

No caso, u = y - 1 , assim, calculando u ' pela regra da cadeia, temos

u ' = - y - 2 y '

Substituindo y ' e y - 1 na EDO, temos

- u ' - 2 u = - 1

u ' + 2 u = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Calculando o fator integrante dessa EDO

r t = e ∫ s t d t

r t = e ∫ 2 d t

r t = e 2 t

Calculando a solução em u

u = 1 e 2 t ∫ e 2 t · 1 d t

u = 1 e 2 t 1 2 e 2 t + C

u = 1 2 + C e 2 t

u = e 2 t + 2 C 2 e 2 t

Agora para obter a solução em y , fazemos

u = y - 1

y = 2 e 2 t e 2 t + 2 C

Legal, né? 😊

Passo 4

Foi dito no enunciado que em t = 0 , y 0 = 1 2

y 0 = 1 2 = 2 e 2 0 e 2 0 + 2 C → 1 2 = 2 1 + 2 C

1 + 2 C = 4

C = 3 2

Logo, a solução especifica é obtida como

y = 2 e 2 t e 2 t + 2 3 2

y = 2 e 2 t e 2 t + 3

Por fim, temos que calcular o tempo T em que y T = 1

y T = 1 = 2 e 2 T e 2 T + 3

e 2 T + 3 = 2 e 2 T

3 = e 2 T

Fazendo l n nos dois lados...

ln ⁡ 3 = ln ⁡ e 2 T

ln ⁡ 3 = 2 T

T = ln ⁡ 3 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

T = ln ⁡ 3 2

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