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Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Resolva o PVI

y ' = 2 t y + 3 y 2 t y 1 = - 1

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é resolver a EDO de primeira ordem. Como eu sei que ela é de primeira ordem? Olha ali, só tem a derivada de primeira ordem envolvida!

Beleza, agora vamos arrumá-la direitinho:

y ' - 3 y 2 t = 2 t y

Eu, malandramente, vou colocar de uma forma que você talvez consiga identificar com mais clareza:

y ' - 3 2 t y = 2 t y - 1

Tá com dificuldade de identificar? Sem grilo, Cirilo! Olha só como é a Equação de Bernoulli:

y ' + P x y = Q ( x ) y ∝

Onde ∝ é um número diferente de 0 e 1.

“Aaaah, agora lembrei!”

Passo 2

Vamos identificar agora, quem são P ( x ) , Q ( x ) e ∝ :

P x = - 3 2 t Q x = 2 t ∝ = - 1

Passo 3

Vamos dividir toda a EDO por y ∝ , que no nosso caso é y - 1 , ficando com:

y y ' - 3 2 t y 2 = 2 t

Passo 4

Beleza. Feito isso, agora temos que fazer a substituição de variável u = y 1 - ∝ . Como ∝ = - 1 , ficaremos com:

u = y ²

d u = 2 y y '

Jogando isso na EDO:

y y ' - 3 2 t y 2 = 2 t   ⇒     u ' 2 - 3 2 t u = 2 t   ⇒     u ' - 3 t u = 4 t

Passo 5

Agora só precisamos resolver essa EDO linear em u .

Para isto, basta descobrirmos quem é o fator integrante I t e B ( t ) , já que nossa solução em u tem que ser da forma:

u t = 1 I t ∫ I t . B t d t + C

Encontrando I ( t )

∫ A ( t ) d t = ∫ - 3 t d t = - 3 ln ⁡ t

I t = e ∫ A t d t = e - 3 l n ⁡ | t | = t - 3

B t = 4 t

∫ ( t - 3 . 4 t )   d t =   ∫ 4 t - 2   d t = ∫ 4 t 2   d t = - 4 t

Logo, nossa solução em u vai ser assim:

u t = 1 t - 3 - 4 t + C = - 4 t 2 + C t ³

Passo 6

Portanto, nosso y ( x ) (já tinha se esquecido dele, né?!) será:

y 2 = u = t 2 - 4 + C t

Substituindo o valor inicial dado:

y 1 = - 1

- 1 2 = - 4 + C ⇒     C = 5

Concluindo,

y t = - t - 4 + 5 t

Lembrando que o y x levou o sinal negativo para satisfazer a condição inicial. Se você substituir o t = 1 , vai ficar com y = - 1 . Tal coisa não aconteceria se você deixasse o sinal positivo.

Resposta

y t = - t - 4 + 5 t

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