Considere a equação de Bernoulli para n = 3 :

dy/dx + 2/x * y = y^3/x^2

(a) Divida a equação por y^3 e substitua y^(1-n) = y^(-2) = z , obtendo uma equação linear em z , mas antes verifique se y ≡ 0 é uma solução;

(b) Resolva a equação linear (obtida acima) para z ;

(c) Obtenha a solução em y .

Passo 1

Vamos começar verificando se y ≡ 0 é uma solução. Para isto, ele e sua derivada deve satisfazer a EDO. Se y ≡ 0 → y ' ≡ 0 . Portanto:

0 + 2 x 0 = 0 x 2 → 0 = 0

Sim, é uma solução.

Passo 2

Agora, dividiremos nossa EDO por y 3 :

1 y 3 y ' + 2 x y 2 = 1 x 2

Adotando y - 2 = z → z ' = - 2 y - 3 y ' . Substituindo...

- z ' 2 + 2 x z = 1 x 2 → z ' - 4 x z = - 2 x 2

Passo 3

Como essa EDO é linear, temos um método bem tranquilo para resolver. Se nossa EDO tem essa cara:

z ' + A x z = B x

Nossa solução é da forma:

z x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Onde I x = e ∫ A x d x . No nosso caso:

I x = e ∫ - 4 x d x = e - 4 ln ⁡ x = x - 4

Além disso,

∫ - x - 4 2 x 2 d x = ∫ - 2 x - 6 d x = 2 5 x - 5

Portanto, nossa solução em z será da forma:

z x = 1 x - 4 2 5 x 5 + C = x 4 2 5 x 5 + C = 2 5 x + C x 4 = 2 + C x 5 5 x

Passo 4

Como z = y - 2 :

2 5 x + C x 4 = 1 y 2 → y 2 = 5 x 2 + 1 C x 4

y x = 5 x 2 + C x 5

Resposta

a   z ' - 4 x z = - 2 x 2

b   z x = 2 5 x + C x 4

c   y x = 5 x 2 + C x 5

Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados