Uma esfera homogênea com 0,5 kg de massa está livre para girar em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma mola de constante elástica k = 2000 π 2 N/m é ligada horizontalmente entre a borda da esfera no plano do equador e uma parede fixa. A figura ao lado mostra a vista de topo da esfera e da mola na sua posição de equilíbrio. Determine o período das pequenas oscilações que acontecem quando a esfera é levemente girada no plano do equador e em seguida liberada. Dado: I = 2 m R 2 5

Passo 1

Vamos considerar o sentido anti-horário como o positivo. Ok? E vemos que a força elástica tá causando um torque no sentido horário, portanto negativo.

O torque causado pela força elástica vai ser então:

τ = - F e l R

A força elástica vai ser:

F e l = k x

Em que x = R θ , para pequenas rotações, e θ é igual ao deslocamento angular a partir da posição de equilíbrio. Então:

F e l = k R θ

τ = - k R 2 θ

Belezinha!

Passo 2

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotações. Parece difícil, mas não é! Vai ficar assim:

I d 2 θ d t 2 = τ = - k R 2 θ

I d 2 θ d t 2 + k R 2 θ = 0

Trocando I por 2 m R 2 5 :

θ ¨ + 5 k 2 m θ = 0

Passo 3

Comparando com a equação do MHS:

θ ¨ + ω 2 θ = 0

Vemos que:

ω 2 = 5 k 2 m

ω = 5 k 2 m   r a d / s

O período vai ser:

T = 2 π ω

T = 2 π 2 m 5 k   s

Substituindo os valores dados:

T = 2 π 2 ∙ 0,5 5 ∙ 2000 π 2 = 0,02   s

Resposta

T = 0,02   s

Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

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