Um pêndulo físico, imerso em um meio viscoso, oscila em torno de um eixo horizontal sob a ação da gravidade e da força de atrito viscoso com uma distância entre o seu centro de massa e o eixo de rotação. No limite de pequenas oscilações, o pêndulo obedece à seguinte equação de movimento:
Sendo . Se necessário, use .
(a) Determine a frequência natural de oscilação () e a constante de amortecimento ().
(b) Determine a solução da equação de movimento para e .
(c) Qual é o tempo necessário para que a amplitude do movimento seja reduzida para um quarto do valor inicial?
Passo 1
a) Temos a equação diferencial:
Dividindo tudo por I:
Que é equivalente a equação
Onde
Passo 2
b) Para determinar o tipo de amortecimento da equação acima, precisando calcular:
Substituindo os valores
Como estamos no regime sub-crítico de amortecimento: a amplitude decai enquanto o sistema oscila. Que tem a seguinte equação como solução
Onde
Temos então a equação
Onde A e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
A primeira condição que temos é :
A segunda condição é :
Então , por exemplo.
Substituindo isso na primeira condição:
Temos a equação:
Passo 4
c) A amplitude é a parte não oscilatória da equação que acabamos de calcular:
Para que ela se reduza por uma fator 4, no instante T:
Usando a aproximação do enunciado: :
Resposta
(a) ,
(b)
(c)