1. Pela nossa teoria, sabemos que a equação diferencial de um pêndulo físico fica assim:

Quando .Além disso, temos que calcular o momento de inércia do eixo de rotação, já que esse não passa pelo centro de massa:

Então, a equação fica:

Passo 2

2. :

A equação de um MHS pode ser escrita como:

Show! Então podemos identificar na equação de a) a nossa velocidade angular:

Sendo:

Passo 3

3. Bom a equação diferencial que estamos tratando é uma EDO. Então a solução geral é do tipo:

O sistema parte do repouso e de um ângulo . Logo:

Substituindo na equação do início:

Passo 4

4. Vamos primeiro dar uma olhada na figura:



Pra gente calcular a energia potencial do centro de massa da haste em relação ao nível potencial mais baixo ( Que no nosso caso a gente considerou como a pontinha da haste quando a esticamos), vamos pegar a altura ( Essa continha é tranquila, basta pegar o comprimento total, , e subtrair dele o comprimento devido à inclinação da barra ).

Então a energia mecânica, que é a soma da energia potencial mais a energia cinética, será:

Lembrando que a energia cinética é a energia cinética de rotação. E como , podemos usar a aproximação:

Substituindo na equação de energia mecânica:

Vamos agora usar a expressão de para achar o tempo que o oscilador levou para chegar em :

Pois:

Logo o valor da velocidade quando será ( Vamos antes derivar a função):

Substituindo o valor de , e o valor do momento de inércia na equação da energia mecânica, obteremos:

Com o valor de

Passo 5

5. :

Para a haste suspensa pela ponta, fica bem fácil de se calcular a nova equação diferencial. O braço de alavanca do torque do peso agora é , já que o centro de massa da barra está exatamente na metade de seu comprimento. Logo, a equação diferencial será:

Só que quem é esse momento de inércia ai? Bem, é o momento de inércia de um eixo que passa pela ponta da barra. A gente pode calcular ele usando:

Arrumando a equação:

Dividindo todo mundo por :

Mesma história de sempre: :

Logo:

Usando :

Sendo :