Exercícios Resolvidos de Produtos Notáveis e Fatoração

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Enunciado

18) Complete o quadrado, conforme exemplos nos itens (a) e (b);

a) x 2 - 4 x + 7 = x 2 - 4 x + 4 + 3 = x - 2 2 + 3 ;

b) 2 x 2 - 6 x - 4 = 2 x 2 - 3 x + 9 4 - 17 2 = 2 x - 3 2 2 - 17 2 ;

c) x 2 + 2 x + 2

d) x 2 - 8 x - 13

e) - x 2 - 2 x - 9

f) - 5 x 2 + 3 x - 3 ;

g) 1 3 x 2 - 2 x + 7 2

h) x 2 - 3 4 x + 1 8

Passo 1

Falaa... tudo belezinha??

Nessa questão vamos precisar completar o quadrado como foi feito nos itens (a) e (b)...

A dica é a gente comparar com um quadrado perfeito tipo

a x + b 2 = a 2 x 2 + 2 a b x + b 2

Passo 2

c) x 2 + 2 x + 2

se formos comparar com o quadrado perfeito, então vamos ter a 2 = 1 e 2 a b = 2 . Daí b 2 = 1 :

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Então temos:

x 2 + 2 x + 2 = x 2 + 2 x + 1 + 1

= x + 1 2 + 1

d) x 2 - 8 x - 13

se formos comparar com o quadrado perfeito, então vamos ter a 2 = 1 e 2 a b = - 8 .   Daí b 2 = 16 :

x 2 - 8 x + 16 = x - 4 2

Então temos:

x 2 - 8 x - 13 = x 2 - 8 x + 16 - 29

= x - 4 2 - 29

e) - x 2 - 2 x - 9

Colocando o -1 em evidência:

- x 2 + 2 x + 9

se formos comparar com o quadrado perfeito, então vamos ter a 2 = 1 e 2 a b = 2 .   Daí b 2 = 1 :

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Então temos:

- x 2 - 2 x - 9 = - x 2 + 2 x + 9

= - x 2 + 2 x + 1 + 8

= - x + 1 2 + 8

= - x + 1 2 - 8

Passo 3

f) - 5 x 2 + 3 x - 3 ;

Colocando o -5 em evidência:

- 5 x 2 - 3 5 + 3 5

Se formos comparar com o quadrado perfeito, então vamos ter a 2 = 1 e 2 a b = - 3 5 . Daí b 2 = 9 100 :

x 2 - 3 5 x + 9 100 = x 2 - 3 10 2

Então temos:

  - 5 x 2 + 3 x - 3 = - 5 x 2 - 3 5 + 3 5

= - 5 x 2 - 3 5 x + 9 100 + 51 100

= - 5 x - 3 10 2 + 51 100

= - 5 x - 3 10 2 - 51 20

g) 1 3 x 2 - 2 x + 7 2

colocando o 1/3 em evidência:

1 3 x 2 - 6 x + 21 2

Se formos comparar com o quadrado perfeito, então vamos ter a 2 = 1 e 2 a b = - 6 . Daí b 2 = 9 :

x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2

Então temos:

1 3 x 2 - 2 x + 7 2 = 1 3 x 2 - 6 x + 21 2

= 1 3 x 2 - 6 x + 9 + 3 2

= 1 3 x - 3 2 + 3 2

= 1 3 x - 3 2 + 1 2

h) x 2 - 3 4 x + 1 8

Se formos comparar com o quadrado perfeito, então vamos ter a 2 = 1 e 2 a b = - 3 4 . Daí b 2 = 9 64 :

x 2 - 3 4 x + 9 64 = x - 3 8 2

Então temos:

x 2 - 3 4 x + 1 8 = x 2 - 3 4 x + 9 64 - 1 64

= x - 3 8 2 - 1 64

Resposta

c) x + 1 2 + 1

d) x - 4 2 - 29

e) - x + 1 2 - 8

f) - 5 x - 3 10 2 - 51 20

g) 1 3 x - 3 2 + 1 2

h) x - 3 8 2 - 1 64

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