Exercícios Resolvidos de Produtos Notáveis e Fatoração

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Enunciado

Vamos treinar algumas propriedades. Simplifique os termos a seguir:

a   a 5 3 . b 3 4 . 3 a 1 3 . b 5 4

b   2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

c   9 x - 6 . y 4

d   4 x 6 . y 9 x 3 5

e   x 3 - 4 x y 2

Passo 1

Olááá, meu bem! Esse exercício é apenas para testarmos sua capacidade de simplificar termos com potências e raízes. Não se desespere, é apenas prática. Começando do começo:

a   a 5 3 . b 3 4 . 3 a 1 3 . b 5 4

Vamos primeiramente juntar os termos semelhantes:

b 3 4 . b 5 4 . 3 a 1 3 . a 5 3

E agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de potências. Você lembra qual é?

x m . x n = x m + n

Então:

b 3 4 . b 5 4 . 3 a 1 3 . a 5 3 = b 3 4 + 5 4 . 3 a 1 3 + 5 3

3 b 8 4 . a 6 3 = b 2 3 a 2 = 3 b 2 a 2 = 3 b . a 2

Prontinho!

Passo 2

Bora para a próxima:

b   2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

Bom, começando com multiplicação de frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador:

2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

E agora vamos usar a propriedade da multiplicação de potência ( a m . a n = a m + n ) :

2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2 = 6 x 1 2 - 2 3 y 2 3 + 1 2

6 x 1 2 - 2 3 y 2 3 + 1 2 = 6 x - 1 6 y 7 6 = 6 x - 1 y 7 1 6

Aqui eu usei a propriedade de que a m n = a m . n

E agora, usando o fato de que a - 1 = 1 a :

6 1 x y 7 1 6

Finalmente, sabendo que a m n = a m n :

6 x y 7 6 = 6 y x y 6

Passo 3

Dá uma olhada nessa:

c   9 x - 6 . y 4

Particularmente, eu não gosto muito de raiz, eu acho o expoente inteiro muito mais bonitinho. Então, eu vou escrever aquela raiz da seguinte forma:

9 x - 6 . y 4 1 2

Concorda comigo? Apenas usei a propriedade da radiciação a m n = a m n .

Agora, temos uma potência de potências. O que fazemos? Faremos chover dentro dos parênteses em cada termo:

9 1 2 x - 6 .   1 2 . y 4 .   1 2

Lembrando que 9 = 3 2 :

3 2 .   1 2 . x - 6 .   1 2 . y 4 .   1 2

Agora é só multiplicar essas belezuras:

3 . x - 3 . y 2

Usando a propriedade a - m = 1 a m :

3 y 2 x 3

Passo 4

Paciência, que nós já estamos no fim! Olha a próxima:

d   4 x 6 . y 9 x 3 5

Bom, primeiramente, simplificando aquela fração, temos:

4 x 3 . y 9 5

Aqui, usamos a propriedade a m a n = a m - n

Bom, não temos muito mais o quê simplificar, então a resposta é essa mesma.

“Nossa, que exemplo fraco”

Na verdade, ele está aqui de propósito, para que você veja que nem sempre você consegue simplificar tudo bonitinho, algumas coisas são esquisitas e esquisitas elas permanecerão.

Passo 5

A última, finalmente, porém não menos importante:

e   x 3 - 4 x y 2

Aqui temos a seguinte situação:

x 3 = x 2 . x = x x

Além disso:

4 y 2 . x = 4 y 2 . x = 2 y x

Então:

x 3 - 4 x y 2 = x x - 2 y x

Colocando em evidência:

x x - 2 y

Prontinho! Ufa!

Resposta

a   3 b . a 2

b   6 y x y 6

c   3 y 2 x 3

d   4 x 3 . y 9 5

e   x x - 2 y

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