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Exercícios Resolvidos de Produtos Notáveis e Fatoração

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Enunciado

Simplifique as expressões fracionárias:

a   2 x - 1 . x 2 - 1 8

b   18 x 2 - 3 x 3 x y . 12 y 2 6 x - 1

c   y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . y 2 - 4 y 3 - 8

Passo 1

Olááá, meu anjinho! Tudo bem? Vamos fazer essa questão pra você ficar craque em fatoração!

É como eu sempre digo, vamos começar do começo:

a 2 x - 1 . x 2 - 1 8

Bom, vamos começar simplificando aquele 2 com o 8 :

x 2 - 1 4 ( x - 1 )

Temos uma divisão de polinômios, vamos tentar fatorar os termos. Perceba que não temos o que fazer no denominador, mas no numerador podemos lembrar daquele produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Então:

x 2 - 1 4 x - 1 = x - 1 x + 1 4 x - 1 = x + 1 4

Pronto!

Passo 2

Dá uma olhada nesse bichinho lindo agora:

b   18 x 2 - 3 x 3 x y . 12 y 2 6 x - 1

Simplificando os números divisíveis por 3 na primeira fração:

6 x 2 - x x y . 12 y 2 6 x - 1

Escreveremos da seguinte forma:

6 x 2 - x 6 x - 1 . 12 y 2 x y

Bom, simplificando o y e colocando o x em evidência:

x ( 6 x - 1 ) 6 x - 1 . 12 y x

Olha que beleza, agora podemos cortar aquele termo 6 x - 1 :

x . 12 y x = 12 y

Pronto, bora pra última!

Passo 3

Finalmente, a última:

c   y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . y 2 - 4 y 3 - 8

Eita ferro! Esse é um monstro! Hahahaha são os meus preferidos! Bora lá!

Vou sair escrevendo na forma de produto notável tudo que eu conseguir!

y 2 - 4 = y 2 - 2 2 = y + 2 y - 2

y 3 - 8 = y 3 - 2 3 = ( y - 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Agora colocando isso na fração:

y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . y 2 - 4 y 3 - 8 = y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . ( y + 2 ) ( y - 2 ) ( y - 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Vamos cortar o termo y - 2 e colocar o y em evidência na primeira fração:

y ( y 2 + 2 y + 4 ) y 2 ( y + 2 ) . ( y + 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Simplificando os termos y 2 + 2 y + 4 e y + 2 :

y y 2 = 1 y

Pronto!

Resposta

a   x + 1 4

b   12 y

c   1 y

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