Exercícios Resolvidos de Produtos Notáveis e Fatoração

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Enunciado

Fatore as seguintes expressões:

a   c m - c n - d n + d m

b   a b - 1 + a - b

c   γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β

Passo 1

Bora começar do começo, ok?

a   c m - c n - d n + d m

Opa, 4 termos! No que eu te falei para pensar? Agrupamento!

Vamos tentar isolar o que se repete, como por exemplo as expressões m   e n .

c m + d m = m [ c + d ]

- c n - d n = - n [ c + d ]

Passo 2

O fator c + d também se repete!

Podemos melhorar isso aí, fazendo:

c + d [ m - n ]

Show! Bora para próxima!

Passo 3

Ok, vamos fatorar essa belezinha aí.

b   a b - 1 + a - b

Pegando o enunciado e reorganizando, encontramos:

a b + a - b - 1

Que pode ser escrito na forma:

a b + 1 - b - 1

Passo 4

Agora repare que:

- b - 1 = - ( b + 1 )

Então a expressão vai ficar assim:

a b + 1 - b + 1

Daí é só botar o b + 1 em evidência:

( a - 1 ) ( b + 1 )

Passo 5

Dá uma olhada nessa última:

c   γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β

Antes de tudo, não se assuste com o cos ⁡ β e o tan ⁡ θ , vamos trata-los como números quaisquer e chamá-los de c e d , respectivamente:

cos ⁡ β = c

tg ⁡ θ = d

γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β → γ c + α d + α γ + d c

Reescrevendo da seguinte forma:

γ c + α γ + α d + d c

Passo 6

E daí vamos agrupar:

γ ( c + α ) + d ( c + a )

Isso é simplesmente:

c + α d + γ

Ou, voltando para as variáveis que substituímos:

( cos ⁡ β + α ) ( tg ⁡ θ + γ )

Resposta

a   ( c + d ) ( m - n )

b   ( a - 1 ) ( b + 1 )

c   ( cos ⁡ β + α ) ( tg ⁡ θ + γ )

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