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Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

Capítulo 4 – Seção 4 – Exercício 11

Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo ( em segundos) é dada por r   =   i   +   4 t ² j   +   t k Escreva expressões para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.

Passo 1

O exercício nos dá uma função de posição em relação ao tempo. Antes de tudo é preciso saber que a derivada da posição é a velocidade e a derivada da velocidade é a aceleração.

Quando temos uma função exponencial do tipo f ( x )   = x n   podemos derivá-la da seguinte forma:

f ( x ) = x n

f ' ( x ) = n . x n - 1

Lembrando que:

  • se houver constantes multiplicando a variável da função elas permanecem na derivada
  • a derivada de uma constante é igual a 0

Passo 2

Agora que aprendemos um pouco sobre cálculo, vamos calcular a primeira derivada e chegar no resultado do item (a):

  r → =   i ^   +   4 t 2 j ^   +   t k ^

Aí é só derivar

v → = r → '   = i ^ ' +   ( 4 t ² j ) '   +   ( t 1 k ^ ) '

v → = 0   +   4.2 t 2 - 1 j ^   + 1 . t 1 - 1 k ^

v →   = 0   +   8 t j ^   + 1 . t 0 k ^

v → = 8 t j ^ + k ^

O que significa que:

v → = 8 t j ^ + k ^   m / s

Passo 3

Agora que temos a equação da velocidade, se derivarmos ela novamente podemos obter aceleração, usaremos a mesma regra de derivação do item anterior:

v → = 8 t j + k

a → = v → ' = ( 8 t j ) '   + ( k ) '

a → = ( 8 t 1 j ) ' + ( k ) '

a → = 8.1 t 1 - 1 j + 0

a → = 8 t 0 j + 0

a → = 8 j

O que significa que :

a → = 8 j ^   m / s ²

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Resposta

  1. v → = 8 t j ^ + k ^   m / s   (b) a = 8 j ^   m / s ²

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