A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x = 16 t e - t   m , onde t está em segundos. A que distância da origem se encontra o elétron quando para momentaneamente?

Passo 1

Oi! Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

O problema nos deu uma função que representa a posição e um elétron em um instante de tempo t . E ele nos perguntou a que distância da origem ele se encontra quando para momentaneamente.

Em outras palavras, o que ele pergunta é onde (em que posição) a velocidade é zero

Pessoal, esse é um caso que precisamos usar derivada, porque a velocidade é a derivada da posição. A questão dá a função posição em relação ao tempo, para descobrir a velocidade instantânea da partícula devemos derivar.

Depois de encontrar a derivada, vamos igualar o resultado a zero, pois queremos saber em que instante de tempo isso ocorre.

E por fim, com o instante de tempo, vamos voltar para a equação para a posição e substituir. Assim saberemos a posição na qual a velocidade é zero.

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A equação horária da posição desse elétron é:

x t = 16 t e - t

E agora vamos derivar em relação ao tempo, pra achar a velocidade instantânea:

v t = d d t 16 t e - t  

Mas como essa função é um produto (de t por uma exponencial), vamos usar a regra do produto:

v t = d x d t = d 16 t d t . e - t + 16 t . d e - t d t

Derivando...

v t = 16 e - t - 16 t e - t

E juntando os termos semelhantes

v t = 16 e - t . ( 1 - t )

Taí temos a função que representa a velocidade!

Nossa missão agora é ver onde ela é zero!

Passo 3

Devemos fazer v t = 0 e descobrir para qual valor de t a equação é satisfeita.

v t = 0

16 e - t . 1 - t = 0

Para isso um dos fatores deve ser igual a zero para algum valor de t .

  • e - t é diferente de zero para todo valor de t e
  • ( 1 - t ) é igual a zero para t = 1 .

Olha só um gráfico da posição pelo tempo:

Verificamos que no instante t = 1 temos um pico no gráfico, ali onde a inclinação da reta tangente (que representa a velocidade) é horizontal, ou seja, velocidade igual a zero mesmo!

Passo 4

Show de bola! Agora que temos o instante em que o elétron para momentaneamente podemos achar a distância em relação a origem substituído o valor de t na equação da posição:

x t = 16 t e - t  

x 1 = 16.1 . e - 1

x 1 = 16 e = 5,88   m  

Tranquilo? Espero ter ajudado!

Vamos para a próxima!

Resposta

5,88 m

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