Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

Um próton move-se ao longo do eixo x de acordo com a equação x   =   50 t   +   10 t 2 , onde x está em

metros e t em segundos. Calcule

(a) a velocidade média do próton durante os primeiros 3 segundos de seu movimento;

(b) a velocidade instantânea do próton em t = 3 s;

(c) a aceleração instantânea do próton em t = 3 s.

(d) Trace o gráfico x(t) e indique como a resposta do item (a) pode ser obtida

deste gráfico.

(e) Indique a resposta do item (b) gráfico.

(f) Trace gráfico v(t) e indique nele a resposta do item (c).

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema deu uma equação de posição em função do tempo. E pediu para calcularmos uma série de grandezas. O pulo do gato é sempre olhar para essa equação e retirar as informações dela!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Aqui vale uma lembrança: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Vamos começar?

Passo 2

Letra (a):

O enunciado nos pede para encontrarmos a velocidade média de 0 s até 3,0 s, então vamos calcular a razão da diferença das posições pelo intervalo de tempo:

v m = x 3 - x ( 0 ) 3   =   50 3   +   10 3   2 - 0 3 = 80   m / s

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos para a velocidade instantânea! Para calcularmos a velocidade do próton para um dado tempo, precisaremos derivar a equação do movimento que foi dada no enunciado para obtermos a velocidade instantânea:

x = 50 t + 10 t 2

v = d x d t = 50 + 20 t

Letra (b) No instante t = 3,0   s , a velocidade do próton será:

v 3 = 50   m / s + ( 20   m / s 2 ) ( 3,0   s )

v 3 = 110   m / s

Beleza?

Passo 4

Letra (c) A aceleração instantânea do próton será a segunda derivada da equação de movimento, ou também, a primeira derivada da velocidade (que achamos no passo anterior):

v = 50 + 20 t

a = d v d t = 20   m / s 2

Como a equação não depende do tempo, a aceleração instantânea para qualquer tempo t será:

a = 20   m / s 2

E então para t = 3,0   s :

a ( 3 ) = 20   m / s 2

Passo 5

Letra (d): traçando o gráfico de x t = 10 t 2 + 50 t temos uma parábola de boca para cima:

Os pontos E e F indicam as posições nos instantes t = 3 s e t = 0 , e fazendo a razão sobre o intervalo de tempo entre esses valores teremos a velocidade média calculada no item (a).

Beleza?

Letra (e): nesse gráfico também podemos determinar a velocidade instantânea: ela é a inclinação da reta tangente a essa curva no instante t = 3 s .

Passo 6

Letra (f): agora precisamos traçar a reta v = 20 t + 50 . Ela vai ser uma reta com inclinação a = 20 m / s 2 . A inclinação dessa reta representa a aceleração calculada no item (c):

Tranquilo? Ufa terminamos!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a ) v m = 80 m / s

( b ) v = 110   m / s

( c ) a = 20   m / s 2

d ,   e ,   ( f ) g r á f i c o

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