A velocidade v → de uma partícula que se move no plano x y é dada por v → =     6 ,   0 t - 4 ,   0 t 2 i →   +   8 ,   0   j → , com   v → em metros por segundo e t   ( > 0 ) em segundos . (a) Qual é a aceleração no instante t   =   3,0   s ? (b) Em que instante (se isso é possível) a aceleração é nula? (c) Em que instante (se isso é possível) a velocidade é nula? (d) Em que instante (se isso é possível) a velocidade escalar da partícula é igual a 10   m / s ?

Passo 1

  1. Então galera, sabemos que a aceleração é a derivada da função da velocidade em função do tempo . Dessa forma :
  2. a → = d v → d t = 6,0 - 8,0 t i ^ +   0 j ^

    Em t = 3 s :

    a → = 6 - 24 i ^ = - 18 m s 2 i ^ →

    Passo 2

  3. Tudo o que precisamos fazer é igualar a equação que achamos no item anterior à zero e achar o instante que isso acontece , caso aconteça , sendo assim :
  4. 6,0 - 8,0 t i ^ +   0 j ^ = 0 i ^ + 0 j ^

    Igualando cada componente de cada lado da equação temos que

    6 - 8 t = 0

    6 = 8 t

    t = 6 8 = 3 4 s

    Passo 3

  5. Nesse caso precisamos simplesmente igualar a equação da velocidade fornecida pelo enunciado à zero e achar o instante que isso acontece , caso aconteça , sendo assim :
  6. v → =     6 ,   0 t - 4 ,   0 t 2 i ^   +   8 ,   0   j → ^ = 0 i ^ + 0 j ^

    Reparem que a componente j ^ nunca se anulará pois é uma constante diferente de 0 . Dessa maneira, não existe nenhum instante t em que a velocidade da partícula é nula.

    Passo 4

  7. A velocidade escalar consiste no módulo da velocidade em termos unitários . Como a velocidade na componente j → é constante, precisamos determinar a velocidade na componente i → para que a velocidade escalar seja 10   m / s :

v → =   x 2 + 8 2 = 100

x 2 + 64 = 100

x 2 = 36

  Agora temos que descobrir o instante que isso acontece , caso aconteça , sendo assim :

  6 ,   0 t - 4 ,   0 t 2 2 = 36

  6 ,   0 t - 4 ,   0 t 2 =   ± 6 ( - 1 )

4,0 t 2 - 6,0 t ± 6 = 0

Não consideraremos 4,0 t 2 - 6,0 t + 6 = 0   pois obteríamos raiz imaginária .

4,0 t 2 - 6,0 t - 6 = 0

t = 6 ± 36 - 4 * 4 * - 6 8   , 0 = 2,2   s   o u - 0,68 s

Como não trabalhamos com instantes de tempo negativos :

t = 2,2   s

Resposta

  1. a → =   18 m s 2 i ^ →
  2. t = 3 4 s
  3. A velocidade nunca se anula
  4. t = 2,2 s

Tranquilo , galera???? Bora resolver mais questões então!!!!

Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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