Ache e simplifique as funções nos pontos indicados (sem o uso de calculadora).

b) f(x, y) = ln(|x + y|) nos pontos (1, 0), (0, -1), (0, e) e (e, e/2)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor da função f x ,   y = ln ⁡ x + y nos pontos 1 ,   0 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   e e ( e , e / 2 ) .

Como os pontos representam as coordenadas x e y da função, basta a gente substituir seus respectivos valores na nossa lei de formação da função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor da função no ponto x ,   y = ( 1 ,   0 ) . Substituindo isso na função, temos:

f 1 ,   0 = ln ⁡ 1 + 0

f 1 ,   0 = ln ⁡ 1

Como o logaritmo natural de 1 é igual a zero, temos:

f 1 ,   0 = 0

Passo 3

Da mesma forma vamos encontrar o valor da função no ponto x ,   y = ( 0 ,   - 1 ) . Substituindo na função, temos:

f 0 ,   - 1 = ln ⁡ 0 + ( - 1 )

f 0 ,   - 1 = ln ⁡ - 1

Como esse valor tá em módulo, podemos escrever:

f 0 ,   - 1 = ln ⁡ ( 1 )

f 0 ,   - 1 = 0

Passo 4

Vamos fazer o mesmo com o ponto 0 ,   e . Substituindo na função:

f 0 ,   e = ln ⁡ 0 + e

f 0 ,   e = ln ⁡ e

Como a exponencial é a função inversa do logaritmo, temos:

f 0 ,   e = 1

Passo 5

E por fim, para x ,   y = ( e , e / 2 ) , teremos:

f e , e / 2 = ln ⁡ e + e 2

Fazendo a soma das frações:

f e , e / 2 = ln ⁡ 3 e 2

Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos transformar o produto 3 2 ∙ e em uma soma:

f e , e / 2 = ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ e

Assim, como a exponencial é a função inversa do logaritmo, temos:

f e , e / 2 = ln ⁡ 3 2 + 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f 1 ,   0 = 0

f 0 ,   - 1 = 0

f 0 ,   e = 1

f e , e / 2 = ln ⁡ 3 2 + 1

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