UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 2° Estágio - 2017.2, Questão 4
Encontre os valores extremos de sobre a curva de interseção do cilindro circular reto com o cilindro hiperbólico .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar os valores extremos (máximos e mínimos) da função que pertence a curva de interseção da função com a função .
Galera, quando nós temos que encontrar os valores máximos e mínimos de uma função sujeita a duas restrições como essa, e , nós podemos usar os chamados multiplicadores de Lagrange e tais que:
Nesse caso o método de Lagrange nos leva a procurar por valores extremos ao resolver cinco equações nas cinco incógnitas , , , e . Essas equações são obtidas ao escrever a equação acima em termos de seus componentes e ao utilizar as equações de restrição:
Então, vamos calcular essas derivadas parciais e encontrar os valores das cinco incógnitas para definir os valores extremos de substituindo os valores encontrados na função.
Passo 2
Montando as equações da condição de Lagrange com as derivadas parciais de , e , temos:
Da primeira equação, temos . Da segunda equação:
Além disso, temos na equação de restrição:
Substituindo tudo isso na terceira equação:
Assim, encontramos:
Substituindo na equação de restrição , temos:
Como e temos também:
Como , ficamos com .
Passo 3
Agora que descobrimos os valores de e vamos substituir na função para descobrir os pontos críticos correspondentes:
Simplificando, temos:
Então, nossos candidatos a extremos serão quatro:
Portanto, o valor máximo de na curva dada é e o valor mínimo .
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉