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Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.12

12] Mostre que a função de duas variáveis w x , t = e - 8 t s e n 2 x é solução do problema de valor inicial e na fronteira,

∂ t w x , t = 2 ∂ x 2 w x , t ,     w 0 , t = w π , t = 0 ,     w ( x , 0 ) = s e n 2 x

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que mostrar que a função w x , t = e - 8 t s e n 2 x é solução da equação

∂ t w x , t = 2 ∂ x 2 w x , t .

Entendeu o que temos que fazer? 😉

Essa equação nos diz que a derivada parcial de w em relação a t é igual duas vezes a derivada de segunda ordem de w em relação a x .

E aí? Vem comigo que no caminho eu te explico! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter a derivada parcial de w em relação a t .

Nesse caso, vamos considerar x uma constante...

∂ t w x , t = ∂ w ∂ t = ∂ e - 8 t s e n 2 x ∂ t

∂ t w x , t = s e n 2 x ∂ e - 8 t ∂ t

Pela regra da cadeia, vamos obter que

∂ e - 8 t ∂ t = ∂ - 8 t ∂ t ∂ e u ∂ u

∂ e - 8 t ∂ t = - 8 e u

Voltando u para - 8 t ...

∂ e - 8 t ∂ t = - 8 e - 8 t

Substituindo em ∂ t w x , t

∂ t w x , t = s e n 2 x - 8 e - 8 t

∂ t w x , t = - 8 s e n 2 x e - 8 t

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora queremos obter a segunda derivada de w em relação a x ∂ x 2 w x , t

Derivando pela primeira vez...

∂ x w x , t = ∂ e - 8 t s e n 2 x ∂ x = e - 8 t ∂ s e n 2 x ∂ x

Pela regra da cadeia, temos

∂ s e n 2 x ∂ x = ∂ 2 x ∂ x ∂ s e n v ∂ v

∂ s e n 2 x ∂ x = 2 cos ⁡ v

Voltando v para 2 x e substituindo em ∂ x w x , t

∂ s e n 2 x ∂ x = 2 cos ⁡ 2 x

∂ x w x , t = 2 e - 8 t cos ⁡ 2 x

Derivando esse resultado em relação a x novamente...

∂ x 2 w x , t = ∂ 2 e - 8 t cos ⁡ 2 x ∂ x = 2 e - 8 t ∂ cos ⁡ 2 x ∂ x

Novamente pela regra da cadeia, vamos obter

∂ cos ⁡ 2 x ∂ x = ∂ 2 x ∂ x ∂ cos ⁡ v ∂ v

∂ cos ⁡ 2 x ∂ x = 2 - s e n v

Substituindo v e substituindo em ∂ x 2 w x , t

∂ cos ⁡ 2 x ∂ x = - 2 s e n 2 x

∂ x 2 w x , t = - 4 e - 8 t s e n 2 x

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Substituindo os resultados na equação

∂ t w x , t = 2 ∂ x 2 w x , t

- 8 e - 8 t s e n 2 x = 2 - 4 e - 8 t s e n 2 x

- 8 e - 8 t s e n 2 x = - 8 e - 8 t s e n 2 x

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

- 8 e - 8 t s e n 2 x = - 8 e - 8 t s e n 2 x

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