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Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 2c

Seja F → : U   ⊂ R 3 → R 3 ,   F → x = P x → ,   Q x → ,   R x → ,   x → = x , y , z ∈ U , um campo vetorial de classe C 2 , e seja f : U ⊂ R 3 → R , uma função real de classe C 2 , definidos ao aberto U ⊂ R 3 . Definimos o divergente do campo vetorial F → , designado ∇ ⋅ F → : U ⊂ R 3 → R , e o rotacional do campo vetorial F → , designado ∇ × F → : U ⊂ R 3 → R 3 , por:

∇ ⋅ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z e ∇ × F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Note que ∇ ⋅ F → é uma função real definida no aberto U e que ∇ × F → é um campo vetorial no aberto U .

  1. Verifique que ∇ ⋅ ∇ f = ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essas definições aqui

F → = P ,   Q ,   R

∇ ⋅ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

E sabemos que o gradiente de uma função escalar é

∇ → f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

E pediu para verificarmos essa propriedade aqui

∇ ⋅ ∇ f = ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2

E agora, como provar? Com as definições dadas, vamos substituir o gradiente ali dentro dos divergente e ver no que dá!

E aí com algumas manipulações matemáticas (e um pouco de sorte) vamos encontrar o que se pede!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

O gradiente do campo escalar é

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Então fazemos a seguinte correlação

F → = P ,   Q ,   R = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para aplicar no divergente:

∇ ⋅ ∇ f = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

#partiu substituir?

= ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ ∂ z ∂ f ∂ z

Podemos reescrever como parciais duplas

Isso é

∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2

E isso precisa valer para todas as componentes! Sendo assim, temos que o divergente do gradiente é

∇ ⋅ ∇ f = ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2

É o que chamamos de Laplaciano de f

Tudo bem até aqui?

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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