UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 2b
Seja um campo vetorial de classe , e seja , uma função real de classe , definidos ao aberto . Definimos o divergente do campo vetorial , designado , e o rotacional do campo vetorial , designado , por:
e
Note que é uma função real definida no aberto e que é um campo vetorial no aberto .
- Verifique que
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essas definições aqui
E sabemos que
E pediu para verificarmos essa propriedade aqui
O divergente do gradiente de um campo escalar é zero.
E agora, como provar? Com as definições dadas, vamos substituir o gradiente ali dentro dos parênteses e depois aplicar o rotacional
E aí com algumas manipulações matemáticas (e um pouco de sorte) vamos encontrar o que se pede!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
O gradiente do campo escalar é
Então fazemos a seguinte correlação
Para aplicar no rotacional:
#partiu substituir?
E agora, será que isso é zero??
Precisamos lembrar que para uma função ser de classe , ela precisa ter uma peculiaridade: as derivadas cruzadas devem ser iguais
Isso é
E isso precisa valer para todas as componentes! Sendo assim, temos que o resultado desse rotacional é o vetor nulo!
Tudo bem até aqui?
Belezinha?
Até a próxima!