UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 1, Questão 3b.
Questão 3 A superfície de um lago é representada por uma região no plano , tal que a profundidade (em metros) sob o ponto correspondente a é dada por
(b) Se um nadador está no ponto , em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos um lago que é descrito como a função e há um nadador no ponto . Temos que descobrir para qual direção ele deve nadar para que a profundidade sob ele diminua.
Como podemos fazer isso? 🤔
Para descobrir para qual direção o nadador deve ir para a profundidade dada por ser a maior possível, temos que saber em qual direção a derivada é máxima.
Pra isso, vamos lembrar que o gradiente de uma função em um ponto aponta para onde a taxa de variação é máxima, ou seja
Já a direção que a função mais decresce, é justamente a direção contraria à direção que mais cresce, ou seja
Em que é o vetor direção que estamos procurando.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente de
Se , então
Pelo método de derivação polinomial, temos
Aplicando o ponto , temos que o vetor direção que o nadador deve seguir é dado por
Vamos dividir esse vetor pelo seu modulo para encontrar o vetor unitário
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
ou