UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 6
Encontre uma fórmula para a solução do seguinte problema de valor inicial para a equação livre de Schröedinger:
,
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
Nós temos que resolver a equação de Schröedinger livre definida como
,
com a seguinte condição inicial
Assustador não é? Nem tanto… a equação de Schröedinger é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, se sabe resolver essas, você sabe resolver a que está aqui em cima! Então como é o caminho usual para resolver estes problemas? Separação de variáveis! Bora começar por aí! Vem comigo!
Passo 2
Vamos propor uma solução da forma
substituição na equação diferencial, temos que
Separando agora as variáveis
em que é uma constante com unidade de energia (isso são razões físicas, não importa para a nossa resolução), o sinal negativo é para que sejamos capazes de obter uma solução única. Ótimo! Temos agora uma equação diferencial de primeira ordem e uma equação diferencial de segunda ordem para resolver! Vamos começar a fazer isso! Vem comigo!
Passo 3
O lado esquerdo é a seguinte equação diferencial de primeira ordem
essa é uma equação separável, se integrar em ambos os lados, obterá
podendo então isolar a sua função como
Vamos lidar agora com o lado direito de nossa equação! Vem comigo!
Passo 4
O lado direito é a equação diferencial de segunda ordem
que pode ser reescrita como
o polinômio característico é da forma
portanto, temos duas raízes complexas conjugadas . E, a nossa solução é dada como uma combinação de senos e cossenos da forma
que pode ser escrita utilizando as relações
e
de forma que a solução toma a forma
juntando as exponenciais, temos que a nossa solução tem o formato
que é a mesma coisa que o que foi escrito inicialmente, mas em um formato que vai facilitar para nós fazermos alguns argumentos físicos! Saca só!
Passo 5
A solução geral é um produto dos dois resultados que obtivemos anteriormente, temos então que
o primeiro termo é uma onda que se propaga para a direita e o segundo termo é uma onda que se propaga para a esquerda. No entanto, para que isso tenha sentido físico, seria necessário que essa onda fosse normalizavel, o que ela não é. Já que a seguinte integral é divergente
É aqui que a nossa condição inicial entra em jogo! Ele funciona como um invólucro para a nossa equação de onda limitando as possibilidades. Usando uma transformada de Fourier para escrever a nossa condição inicial no espaço dos momentos, temos que
substituindo a nossa função, temos que
Essa é uma integral gaussiana que podemos encontrar o resultado em uma tabela, mas antes disso, vamos reescrever o integrando um pouco!
Passo 6
Vamos completar o quadrado naquele expoente, temos que
nas quem é Como temo que o primeiro termo é simplesmente , precisamos que . Ou seja, para completar o quadrado precisamos somar e subtrair , temos que a nossa integral se torna
Usando uma tabela para a integral gaussiana, temos que
e, obtemos finalmente, que
a solução evoluindo no tempo será dada por
mas, o nosso problema pede na representação das posições, então temos que fazer a transformada de Fourier inversa como
Antes de resolver isso, vamos ter que discutir um pouco o formato de nossa constante . Vamos lá!
Passo 7
A energia aqui representa a energia cinética clássica, e a equação de Schröedinger escrita está tomando uma normalização na qual , como temos que
e, a energia cinética é dada por
ou seja, temos que a nossa energia é simplesmente identificada como . Portanto, a nossa integral se torna
que também é uma integral Gaussiana, temos que
ou seja, temos que a nossa solução é dada por
em que deve ser obtida fazendo a normalização da expressão acima! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!