UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 2a
Seja um campo vetorial de classe , e seja , uma função real de classe , definidos ao aberto . Definimos o divergente do campo vetorial , designado , e o rotacional do campo vetorial , designado , por:
e
Note que é uma função real definida no aberto e que é um campo vetorial no aberto .
- Verifique que
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essas definições aqui
E pediu para verificarmos essa propriedade aqui
O divergente do rotacional de um campo é zero.
E agora, como provar? Com as definições dadas, vamos substituir o rotacional do campo ali dentro dos parênteses e depois aplicar o divergente (que é a derivada parcial em cada componente)
E aí com algumas manipulações matemáticas (e um pouco de sorte) vamos encontrar o que se pede!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
O rotacional do campo são essas componentes aqui
Beleza? Lembrando que o divergente é a derivada parcial da componente na variável , somado com a derivada parcial da componente na variável mais a derivada da componente na variável , vamos aplicar isso nessas componentes aí:
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora nossa missão é derivar essa coisa! Vamos ter derivadas duplas mistas, mas não se apavore!
E agora, será que isso é zero??
Precisamos lembrar que para uma função ser de classe , ela precisa ter uma peculiaridade: as derivadas cruzadas devem ser iguais
Isso é
E isso precisa valer para e ! Todas as partes da função vetorial! Então temos que aquele divergente ali é zero pois todos os termos se anulam!
Belezinha?
Até a próxima!