Mostre que a função u(x, y) = log(raiz(x^2 + y^2)) satisfaz a equação

u_{xx} + u_{yy} = 0

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, o que precisamos então fazer aqui é provar aquela igualdade. Mas antes, precisamos achar as derivadas parciais que são pedidas no enunciado.

u x , y = log ⁡ x 2 + y 2

Vamos começar derivando em função de x :

u x = 1 x 2 + y 2 × 1 ln ⁡ 10 × 2 x 2 x 2 + y 2

u x = 1 ln ⁡ 10 × x x 2 + y 2

Já vamos calcular a segunda derivada:

u x x = 1 ln ⁡ 10 × x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

u x x = 1 ln ⁡ 10 × y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Show, já temos as derivadas em função de x . Agora vamos fazer em função de y :

u y = 1 x 2 + y 2 × 1 ln ⁡ 10 × 2 y 2 x 2 + y 2

u y = 1 ln ⁡ 10 × y x 2 + y 2

Já vamos calcular a segunda derivada:

u y y = 1 ln ⁡ 10 × x 2 + y 2 - 2 y ² x 2 + y 2 2

u y y = 1 ln ⁡ 10 × x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Show, agora vamos somar as 2 derivadas de segunda ordem e confirmar a igualdade do enunciado.

Passo 2

Substituindo na EDO:

u x x + u y y = 1 ln ⁡ 10 × y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 1 ln ⁡ 10 × x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Vamos isolar aquele 1 / l n ( 10 ) :

u x x + u y y = 1 ln ⁡ 10 × y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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