UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 7
Encontre uma fórmula para a solução do problema de Laplace no semi-plano superior:
Passo 1
Eaew, belezinha?
Nós queremos resolver a equação de laplace para o semi-plano superior
a maneira mais simples de fazer isso é utilizando transformadas de Fourier definidas como
e a transformada inversa é tal que
Vamos tentar usar isso para resolver o nosso problema! Saca só!
Passo 2
Se aplicarmos a transformada de Fourier em toda a equação de Laplace, temos que
a primeira pode ser escrita como
a segunda tem a forma
e, a última é simplesmente
Obter quem é vai nos dar um pouco mais de trabalho, então vamos fazer no próximo passo, no entanto, temos que
é um pouco mais simples. Note que derivada é em e a integral em , portanto, temos que isso pode ser reescrito como
em que a integral é a transformada de fourier da própria função, usando a notação , temos que essa transformada é simplesmente
Vamos resolver a transformada que falta agora!
Passo 3
Para
vamos precisar manipular um pouco o integrando. Se usarmos que
e, portanto, temos que
Note que o que temos em nosso integrando é o primeiro termo do lado direito, portanto, juntando os termos iguais, e substituindo em nossa integral, temos que
A primeira integral das três que foram escritas é a integral de uma derivada segunda, que resulta em uma derivada primeira que deve ser avaliada no infinito, para que não hajam divergências em nosso sistema, é fisicamente adequado considerar que sob essas condições essa aplicação se anula. Portanto, nos resta resolver
No entanto, essa primeira integral segue o mesmo procedimento, de forma que obtemos
Novamente a integral da derivada pode ser anulada, nos restando apenas
ou simplesmente
Vamos voltar agora para a equação de Laplace!
Passo 4
Usando nossos resultados, a equação de laplace se torna
as linhas representam derivadas em . Ou seja, temos uma equação diferencial de segunda ordem em da seguinte forma
essa expressão é válida para qualquer função da forma
Vamos avaliar a condição inicial dada!
Passo 5
A transformada de Fourier de nossa condição inicial é da forma
em que
De forma que aplicada a nossa solução, temos que
e, podemos escrever a nossa solução em termos de apenas uma constante
Ótimo! Temos a inversa de nossa solução! Mas a solução que desejamos realmente é dada na representação de , portanto, precisamos calcular a transformada inversa!
Passo 6
Usando a definição de transformada inversa, temos que
podemos usar também que
e escrever
Para encontrar a constante seria necessária mais uma condição de contorno, o que não foi dado. E, sabendo quem é a expressão acima pode ser diretamente calculada! Então, a questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!