UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 1a
Determine e esboce o domínio da função .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função f(x,y). Vamos lembrar então o que é o domínio de uma função: o domínio de um função f(x,y) é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano xy para os quais a função f(x,y) possui um valor definido.
A função que nos foi dada é definida como a soma de duas raízes. A gente sabe que, para valores negativos, as raízes não possuem valores reais. Então, temos que o nosso domínio está restrito à região
e
Tal que, dessa última equação, temos que se a soma de x² com y² for maior que 9, temos que 9 menos essa soma será negativo. Então bora lá dar uma olhada em como é essa região!
Passo 2
Da primeira inequação, temos a nossa região está restrita ao primeiro e ao quarto quadrante do plano xy, pois nesses dois quadrantes temos que x é maior ou igual à zero.
Da segunda expressão, se olharmos a igualdade, percebemos que se trata de uma circunferência de raio 3, cuja equação é dada por
Então, essa região é o conjunto de todos os pontos (x,y) que, ou pertencem à circunferência, ou então contidos dentro dela, de modo que a soma de suas coordenadas ao quadrado é sempre menor que o raio ao quadrado, que vem a ser igual à 9. O domínio está esboçado na imagem abaixo, em roxo, no interior da circunferência vermelha.