Considere um corpo de massa , preso a uma mola ( de constante elástica e comprimento relaxado cuja outra extremidade presa está presa ao teto. Considere que pode oscilar, sem resistência, na vertical sob a ação de um campo gravitacional O corpo é solto, inicialmente em repouso, da posição em que a mola encontra-se relaxada.
- DEDUZA a equação diferencial de movimento. Especifique CLARAMENTE o eixo e a origem de seu sistema de coordenadas.
- Mostre que a equação diferencial de movimento pode ser escrita como a equação do oscilador harmônico simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta posição.
- Escreva a solução completa que descreve o movimento, em função dos dados do problema.
Passo 1
Vamos definir nosso eixo de coordenadas apontando pra baixo, na direção do vetor peso:
A nossa origem ficará no teto. A força elástica será dada por:
Onde é o deslocamento e o vetor unitário que aponta na direção de Como o comprimento natural é , temos que:
Show! Então a força elástica vai ser:
E temos também a força peso, né? É de se esperar que ela seja positiva, pois aponta na direção de crescimento do
Vamos calcular agora a força resultante usando a segunda lei de Newton:
A aceleração, no caso, é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
Então:
(:
Passo 2
b)
Bom, primeiro, qual é posição de equilíbrio galera?
Vamos definir como:
Ou seja, o comprimento que gera uma força elástica que equilibra o peso. Agora, vamos definir novas coordenadas
Então, reescrevendo a equação diferencial que a gente encontrou (Trocando só por ):
Substituindo o valor de
Primero: A derivada de elimina constante
Logo:
Passo 3
c):
Vamos calcular a solução para . Como o sistema é forçado, a solução será composta por uma solução homogênea e uma particular. A solução homogênea será do tipo:
E a solução particular?
Bom, a solução particular vai ser do tipo:
Onde é uma constante. Isso seve ao fato de que a força externa é constante. Então, substituindo na expressão:
Logo, a solução geral vai ser do tipo:
As condições iniciais são:
Lembrando-se que a mola parte do repouso, por isso .Então:
Passo 4
Calculando a derivada da solução a aplicando em
Logo:
Com
Vamos escolher Logo:
Então, voltando a expressão que achamos pra :
Então, finalmente, a solução será:
Resposta
a):
b):
c):