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Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

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Enunciado

Oscilações Forçadas e Ressonância

Considere um oscilador harmônico não-amortecido na presença da força externa F 0 c o s ⁡ ( ω t ) . Qual a solução geral para x ( t ) no regime de ressonância ( ω =   ω 0 ) sabendo que o oscilador se encontra inicialmente em repouso e na origem?

  1. 2 F 0 m ω 0 t   s e n ( ω 0 t )
  2. F 0 m ω 0   s e n ( ω 0 t )
  3. F 0 m ω 0   c o s ⁡ ( ω 0 t )
  4. F 0 2 m ω 0 t   s e n ( ω 0 t )
  5. F 0 m ω 0 t   s e n ( ω 0 t )

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse problema:

1°: Existe amortecimento? A resposta é: Não. O sistema é não amortecido.

2°: Existe uma força externa? Qual o tipo dela? A resposta é: Existe e é uma força oscilatória.

Bom, sabendo disso, a gente pode notar que esse é um caso de sistema forçado, com força oscilatória, sem amortecimento.

Vimos na teoria desse tipo de oscilação que a nossa EDO se resume à:

x ¨ + ω 0 2 = F m m cos ⁡ ω t

Show? A solução dela, nesse caso, é dada por:

x t = A c o s ω 0 t + B s e n ω 0 t + F m m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

Maneiro! Mas quem é A ? E quem é B ?

Vamos descobrir quem são essas constantes usando as condições inicias do problema: Inicialmente em repouso e na origem: x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 0 .

Passo 2

Para x 0 = 0 teremos:

x 0 = 0 = A c o s 0 + B s e n 0 + F m m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ 0

∴

A + F m m ω 0 2 - ω 2 = 0 → A = - F m m ω 0 2 - ω 2

E para x ˙ 0 = 0 :

x ˙ t = - ω 0 A s e n ω 0 t + ω 0 B c o s ω 0 t - ω F m m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

∴

x ˙ 0 = 0 = - ω 0 A s e n 0 + ω 0 B c o s 0 - ω F m m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ 0

∴

0 + ω 0 B + 0 = 0 → B = 0

Então: A = - F m m ω 0 2 - ω 2   e   B = 0 . Jogando isso na nossa equação inicial:

x t = A c o s ω 0 t + B s e n ω 0 t + F m m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

∴

x t = - F m m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω 0 t + 0 + F m m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

∴

x t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 c o s ω t - c o s ω 0 t = - F 0 m ω 0 2 - ω 2 c o s ω 0 t - c o s ω t

Show? Agora podemos descobrir o que acontece com essa bicha feia ai de cima quando o sistema entra em ressonância.

Passo 3

Agora, no regime da ressonância, ω → ω 0 :

x t = - F 0 m ( ω 0 + ω ) c o s ω 0 t - c o s ω t ω 0 - ω

∴

x t = - F 0 m ω 0 + ω lim ω → ω 0 ⁡ c o s ω 0 t - c o s ω t ω 0 - ω

Passo 4

Mas olha que legal: Aquele limite ali é a derivada de   c o s ⁡ ( ω 0 t ) em relação à ω . Então, basta a gente derivar:

cos ⁡ ω 0 t ' = - t s e n ( ω 0 t )

Logo:

x t = - F 0 m ω 0 + ω ( - t s e n ω 0 t ) = F 0 m ω 0 + ω . t s e n ω 0 t = F 0 2 m ω 0 . t s e n ( ω 0 t )

Opa! pode ser que tenha ficado confusa essa última parte: O que fizemos foi basicamente ω = ω 0 . Porque, afinal, ω estava tendendo à ω 0 .

Resposta

d)

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