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Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

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Enunciado

Oscilações Forçadas e Ressonância

Um sistema composto por um bloco de massa 2 k g que se encontra na horizontal, sobre uma mesa, e que está ligada à parede por uma mola, tem seu movimento representado por:

x ¨ + 6 x ˙ + 25 x = 0 ,

Onde as constantes estão em unidades SI. Despreze o atrito do bloco com a superfície da mesa.

  1. Identifique a constante de amortecimento γ e a frequência angular ω 0 na equação acima e determine o tipo de amortecimento sofrido pelo sistema.
  2. Dado que o bloco se encontra inicialmente na posição x = 1 m , onde a origem deste sistema corresponde à posição do bloco com a mola relaxada, e com velocidade inicial - 7 m / s , determine a equação horária x ( t ) do sistema em função de sua amplitude e fase inicial.
  3. Suponha agora que este sistema passe a oscilar sob a ação de uma força F = cos ⁡ Ω t . Ache a frequência angular Ω sob qual a amplitude das oscilações é máxima. Assuma que o tempo t é grande o suficiente para que a componente transiente do movimento já tenha sido totalmente suprimida. Encontre também esta amplitude máxima.

Passo 1

  1. :

    2. Bom galera, nesse item nós precisamos apenas saber identificar as constantes de uma equação de MHA:

    Uma equação de um MHA segue o padrão:

    x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

    Pronto! Basta a gente comparar com a equação que temos e vamos ver que:

    γ = 6 s - 1

    ω 0 2 = 25   → ω 0 = 5 r a d / s

    A gente sempre pode associar uma EDO a uma equação característica, do segundo grau em x:

    x 2 +   γ x +   ω 0 2 = 0

    Calculando o ∆ dessa equação, vamos poder classificar o regime em crítico, subcrítico ou supercrítico:

    ∆ = γ 2 - 4.1 . ω 0 2 = 36 - 4.1 . 25 = - 64

    Como o ∆ < 0 ,   o sistema é subcrítico!(:

    Passo 2

  2. : Como o amortecimento é subcrítico, a função de variação do espaço é:

    3. x t = A e - γ t 2 c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

    Onde ω = ω 0 - γ 2 4 = 4 r a d / s  

    Vamos calcular agora o x ˙ t ,   derivando a expressão acima e usando aquela regrinha da derivada do produto de cálculo 1:

    x ˙ t = - A . γ 2 e - γ t 2 cos ⁡ ω t + ∅ - A ω e - γ t 2 s i n ⁡ ( ω t + ∅ )

    Beleza! Agora vamos usar as condições iniciais pra achar o que ainda não sabemos.... a fase ∅ !

    Sabendo que x 0 = 1 m , e v 0 = - 7 m / s :

    x 0 = A e 0 cos ⁡ ∅ = 1   → cos ⁡ ∅ = 1 A

    x ˙ 0 = - A . γ 2 e 0 cos ⁡ ∅ - A ω e 0 sin ⁡ ∅ = - 7

    ∴

    3 A c o s ∅ + 4 A s e n ∅ = 7

    Usando o valor A c o s ∅ = 1 :

    3 + 4 A s e n ∅ = 7 → s e n ∅ = 1 A  

    Como s e n ∅ = c o s ⁡ ( ∅ ) , fica claro que esse ângulo é π 4 ! Logo o valor de A é:

    A = 1 s e n ∅ = 2 2 = 2

    Show! Agora podemos unir todas as informações que temos pra calcular a nossa função:

    x t = A e - γ t 2 c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

    ∴

    x t = 2 e - 3 t c o s 4 t + π 4

    Passo 3

  3. :

Galera, aqui vamos usar a fórmula:

A 2 ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - Ω 2 + γ 2 Ω 2

Essa é a amplitude uma oscilação forçada em função de frequência angular.

Ela será máxima quando Ω for igual a:

Ω = ω r e s = ω 0 2 - γ 2 2 = 25 - 36 2 = 7

Logo:

Ω = 7 r a d / s

E a amplitude máxima será:

A 2 7 = 1 2 2 25 - 7 2 + 6 2 . 7 ) = 1 2304

∴

A 7 = 1 2304

Resposta

  1. γ = 6 s - 1

    2. ω 0 = 5 r a d / s

    Subcrítico

  2. x t = 2 e - 3 t c o s 4 t + π 4
  3. Ω = 7 r a d / s

A = 1 2304

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