As partículas e da Figura abaixo estão ligadas uma à outra bem como a paredes verticais através de molas, todas elas de constante elástica . As partículas e estão fixadas nas paredes e não podem se movimentar. Inicialmente, as partículas (todas elas de massa ) estão na posição de equilíbrio, com as molas tendo um comprimento (que coincide com o comprimento natural). Aplica-se à partícula uma força horizontal , fazendo o sistema oscilar longitudinalmente. Seja , com o deslocamento da partícula em relação à posição de equilíbrio. Ao oscilar, cada partícula experimenta uma força de arrastro do ar proporcional à sua velocidade, sendo a constante de proporcionalidade.

PARTE I

Obtenha as equações que descrevem o movimento do sistema da Figura .

Obtenha as equações do movimento para as coordenadas normais e identifique-as freqüências naturais desses modos.

Obtenha a solução para as coordenadas normais (não é necessário especificar condições iniciais).

Agora vamos descobrir as equações do movimento para as partículas e . Para isso vamos ter que analisar as forças que agem nas partículas.

Começando pela partícula , ela sofre ação de forças: Duas forças elásticas causadas pelas molas que estão conectadas nessa partícula ; A força de arrasto ; E por último a força . Os valores de cada força são:

As forças elásticas nós vimos na teoria como acha-las e quanto valem, dá uma olhadinha lá qualquer dúvida.

Lembre-se que sempre podemos escrever a velocidade como derivada temporal da posição e a aceleração como segunda deriva.

Agora pela segunda lei de Newton, conseguimos escrever a equação do movimento da partícula .

Isolando a força :

Agora podemos dividir tudo pela massa e chegamos em:

Onde e são:

Vamos analisar as forças na partícula , são forças: As duas forças elásticas e a força de arrasto . Assim como fizemos no passo anterior, os valores dessas forças são:

Pela segunda lei de Newton, conseguimos escrever a equação do movimento

Podemos passar tudo para um lado e escrever utilizando e

O que esse item pede para gente fazer é desacoplar o sistema, pois para encontrarmos as equações para as coordenadas normais, precisamos desacoplar o sistema. Mas relaxa, é tranquilo.

A gente só precisa escrever a equação que obtivemos no item em função de uma única distância. Para conseguir fazer isso tem um truque bem simples, vamos somar e subtrair as duas equações.

As equações que obtivemos no item foram essas:

Quando somar e subtrair obteremos duas equações.

Lembra que falei que para desacoplar temos que escrever a equação em função de uma única distância, então se observar bem a equação que obtivemos com a soma, você pode observar que tudo está em função de e suas derivadas.

Então para desacoplar basta colocarmos tudo em função da distância , onde

Então chegamos na primeira equação desacoplada

A frequência natural desse modo continua sendo

Agora vamos achar a outra equação desacoplada, vamos subtrair dessa vez.

Para desacoplar vamos utilizar , onde

Assim chegamos na segunda equação desacoplada

Nesse caso a frequência natural mudou, ela passa a ser , onde essa frequência vale

Como e são as coordenadas que desacoplam o sistema, elas são as coordenadas normais. Assim já encontramos tudo que esse item pedia.

Esse é o item em que o calculo tem que estar em dia, pois nossa tarefa é achar a solução para as EDO’s. As EDO representa uma oscilação forçada amortecida com força externa oscilatória:

A solução de uma EDO heterogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular

Vamos encontrar primeiro a solução da EDO homogênea. Se observamos a equação é a mesma de um MHA. E como o enunciado diz que o sistema irá oscilar, então estamos no regime sub-critico.

As EDO homogêneas são:

Como vimos na teoria de Movimento Harmônico Amortecido a solução dessa EDO é:

Onde e são dados pelas condições iniciais. E pelo movimento e seguir o regime subcrítico, temos que e

Sendo que a frequências e são:

Bem, a solução da homogênea está ai, agora só falta a solução particular, na teoria de oscilações forçadas amortecidas com força externa oscilatória vimos que a solução será da seguinte forma:

Saber que a solução particular vai seguir este modelo e nem vão depender do tempo é o “pulo do gato” para resolvermos essa EDO. Pois sabendo que a solução será assim iremos derivar ela e após isso substituir na EDO.

Lembrando que nossas EDO^' s são:

Então a solução e as derivadas são:

Então substituindo na EDO, temos:

Até aqui tudo certo, mas agora vamos começar com o algebrismo “bravo”

Bom como as EDO’s são praticamente iguais iremos resolver uma e depois copiaremos a resposta mudando apenas alguns dados.

Agora precisamos simplificar essa equação e para isso vamos usar as relações trigonométricas.

Usando que :

Assim:

Agora, vamos isolar :

Podemos cortar o da equação e substituir a razão de seno/cosseno por tangente.

Como agora, toda essa equação é igual a uma constante , observe bem uma equação que varia com o tempo é igual a uma constante, o que significa que não importa o tempo o valor dela é o mesmo, o que só é possível, se os termos que variam com o tempo se anulam.

Então:

Podemos cortar e também, chegando em:

Isolando

Então conseguimos determinar o valor de :

Assim, conseguimos determinar e , como e são os mesmo para ambas EDO’s só vai mudar o valor da frequência natural, assim

Agora falta encontrar o valor da amplitude, e para isso vamos voltar para a equação que tínhamos, antes de falarmos que os termos com o tempo iam se anular.

Como os termos que dependem do tempo se anulam, chegamos em:

Já descobrimos que

Como

Então

Podemos substituir esses valores e descobrimos que

Vamos deixar essa equação mais bonita, observe que dentro dos dois parênteses conseguimos ter os temos , assim quando multiplicarmos teremos

Já descobrimos , descobrir é fácil agora, pois a única coisa que muda em relação a é o para o

Agora para encontrarmos a solução da EDO basta somarmos a solução da homogênea com a da particular.

Assim, vamos encontrar: