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Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

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Enunciado

Uma massa de 4 kg, presa a uma mola de constante elástica k = 9N/m, inicialmente em repouso na condição de equilíbrio, recebe um impacto, que lhe transfere um impulso de J → = 4 i ^   k g   m / s , entrando em oscilação. Se a massa sofre um atrito viscoso ρ =   4 N . s / m , responda às questões:

a)Qual a função que descreve a o deslocamento x(t) do corpo em relação à condição de equilíbrio como x = 0? Justifique a expressão e os valores empregados.

b)Quando a dissipação do sistema é máxima? Qual o seu valor? Justifique sua resposta e quaisquer aproximações usadas.

c)Qual a energia potencial máxima do sistema? Em que instante ela ocorre? Justifique sua resposta e quaisquer aproximações usadas.

d)Se passarmos a excitar o sistema com uma força externa, qual a frequência de excitação da força externa aplicada à massa que produzirá a máxima amplitude de oscilação? Justifique.

Passo 1

a) Vamos usar esses dados aí que ele deu:

ω 0 = k m = 9 4

ω 0 = 3 2   r a d / s

γ = ρ m = 4 4

γ = 1   s - 1

ω 2 = ω 0 2 - γ 2 4

ω 2 = 1,5 2 - 1 2 4 = 2

ω = 2   r a d / s

Ok! Já temos γ ,   ω 0 e ω .

E como ele disse que o impulso foi de 4 i ^   k g . m / s , pela conversação do momento linear teremos:

J = m v 0

v 0 = J m = 4 4

v 0 = 1   m / s

Passo 2

Vamos descobrir agora se o regime é subcrítico, crítico ou supercrítico.

∆ = γ 2 - 4 ω 0 2

∆ = 1 2 - 4 ( 1,5 ) 2

∆ = - 8

∆ < 0

Então teremos regime subcrítico.

A solução do regime subcrítico é:

x t = A e - γ t / 2 cos ⁡ ( ω t + φ )

Vamos substituir os valores que a gente já tem:

x t = A e - t / 2 cos ⁡ ( 2 t + φ )

Passo 3

Agora vamos ter que usar as condições iniciais dadas:

x 0 = 0

x 0 = A cos ⁡ φ = 0

φ = ±   π / 2

Maravilha! A outra condição que sabemos é da velocidade:

x ˙ t = v 0 = 1   m / s

Mas para achar x ˙ t precisamos derivar.

Aí nesse momento você tá assim:

NAAAAAO, ânimo, derivar é muito legal.

x t = A e - t / 2 cos ⁡ ( 2 t + φ )

x ˙ t = - A 2 e - t / 2 cos ⁡ ( 2 t + φ ) - 2 A e - t / 2 sin ⁡ ( 2 t + φ )

Aqui eu usei a Regra do Produto!

x ˙ 0 = - A 2 cos ⁡ ( φ ) - 2 A sin ⁡ ( φ ) = 1

- 2 A sin ⁡ ( φ ) = 1

φ = ±   π / 2

Como A não pode ser negativo, teremos:

sin ⁡ ( φ ) = - 1 ,       φ = - π / 2

2 A = 1

A = 2 2   m

Então:

x t = 2 2 e - t / 2 cos ⁡ ( 2 t - π / 2 )

Passo 4

b) A dissipação vai ser máxima quando a velocidade for máxima! No início toda a energia é cinética, que vai sendo dissipada depois. Então no início a taxa de dissipação é máxima.

Essa taxa é dada por:

P = F d v 0

P = ρ v 0 2

P = 4 × 1 2

P = 4   W

Passo 5

c) A energia potencial máxima do sistema ocorre quando a mola estiver com a maior compressão ou distensão. Isso vai acontecer quando a velocidade for zero, numa posição de retorno.

Como nós já temos a velocidade:

x ˙ t = - A 2 e - t / 2 cos ⁡ ( 2 t - φ ) - 2 A e - t / 2 sin ⁡ ( 2 t - φ ) = 0

- 1 2 cos ⁡ ( 2 t - π / 2 ) - 2 sin ⁡ ( 2 t - π / 2 ) = 0

Vamos usar um pouco de trigonometria aqui:

cos ⁡ ( 2 t - π / 2 ) = cos ⁡ 2 t cos ⁡ π / 2 + sin ⁡ 2 t sin ⁡ π / 2

cos ⁡ ( 2 t - π / 2 ) = sin ⁡ 2 t

sin ⁡ ( 2 t - π / 2 ) = sin ⁡ 2 t cos ⁡ π / 2 - cos ⁡ 2 t sin ⁡ π / 2

sin ⁡ ( 2 t - π / 2 ) = - cos ⁡ 2 t

E vamos trocar:

- 1 2 sin ⁡ 2 t + 2 cos ⁡ 2 t = 0

1 2 sin ⁡ 2 t = 2 cos ⁡ 2 t

sin ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t = 2 2

tan ⁡ 2 t = 2 2

2 t = tan - 1 ⁡ 2 2

t ≅ 0,87   s

Passo 6

Ok, agora falta calcular a energia potencial máxima.

E m á x = k x 2 2

E esse x é a posição para o tempo que acabamos de calcular. Então:

x 0,87 =   2 2 e - 0,87 / 2 cos ⁡ ( 2 × 0,87 - π / 2 )

x 0,87 ≅ 0,43   m

E m á x = 9 × 0,43 2 2

E m á x ≅ 0,83   J

Passo 7

d) A máxima amplitude de oscilação ocorre na ressonância! No MHA, a frequência de ressonância é:

Ω m á x = ω 0 2 - γ 2 2

Substituindo:

Ω m á x = ( 3 / 2 ) 2 - ( 1 ) 2 2

Ω m á x = 9 4 - 2 4 = 7 4

Ω m á x = 7 2   r a d / s

Resposta

a) x t = 2 2 e - t / 2 cos ⁡ ( 2 t + π / 2 )

b) P = 4   W

c) E m á x ≅ 0,83   J

d) Ω m á x = 7 2   r a d / s

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