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Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

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Enunciado

MHA

O oscilador harmônico amortecido possui a seguinte equação de movimento

x ¨ +   γ x ˙ +   ω 0 2 = 0

Supondo que o oscilador se encontra no regime subcrítico, assinale o valor da razão x   ( t + τ ) x ( t ) , onde τ é o período.

  1. exp - γ π   ω 0 2   -   γ 2
  2. exp   - π γ ω 0 2   -   γ 2 / 4
  3. exp   - γ 4 π   ω 0 2   -   γ 2 / 4
  4. exp   - γ π   γ ² / 4   -   ω 0 2
  5. exp   - 2 π γ ω 0 2   -   γ 2 / 4

Passo 1

Primeiramente, vamos calcular a função da variação do espaço pra esse sistema subcrítico.

Como o sistema é subcrítico, a solução da equação diferencial vai seguir o modelo:

x t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

Ou,

x t = e α t ( A c o s β t + ∅ )

Vamos preferir a segunda por que gera menos conta. Alfa e beta vem da solução da equação característica do sistema (Lembra?Do cálculo de uma EDO, quando a gente chama x ¨   de r 2 , x ˙ de r , etc, e no fim resolvemos uma equação do segundo grau).

A solução r do sistema é:

r = α ∓ β i

Bom, chega de lenga- lenga. Vamos por a mão na massa:

A equação auxiliar ou característica é :

x ¨ +   γ x ˙ +   ω 0 2 = 0 → r 2 + γ r + ω 0 2 = 0

Calculando o ∆ dessa equação:

∆ = γ 2 - 4 ω 0 2

Sendo ∆ < 0 .Logo, r será:

r = - γ ∓ γ 2 - 4 ω 0 2 2   → r = - γ 2   ∓ ω 0 2 - γ 2 4 i

Logo, sabemos que α = - γ 2 e β = ω 0 2 - γ 2 4 .

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular enfim a equação de x t :

x t = e - α t A c o s β t + ∅ → x t = e - γ t 2 A c o s ω 0 2 - γ 2 4 t + ∅

Legal! Agora precisamos calcular x ( t + τ ), onde τ é o período.

Mas como a gente calcula o período? Bem, o β

Que aparece na fórmula é a frequência angular do sistema. Sabemos que a frequência angular do sistema e o período se relacionam por:

ω = 2 π τ → τ = 2 π ω

Logo, como β = ω :

τ = 2 π ω 0 2 - γ 2 4

Ok, vamos guardar isso ai.

Passo 3

Vamos agora, até que enfim, calcular a razão que ele pede. Vamos ser espertos aqui pra não ficar escrevendo muita coisa.

A função x ( t + τ ) pode ser escrita como:

x t + τ = e - γ ( t + τ ) 2 A c o s ω 0 2 - γ 2 4 ( t + τ ) + ∅

Vamos analisar primeiro a parte trigonométrica:

A c o s β t + τ + ∅ = A c o s ( β t + ∅ )

Por quê eu posso dizer isso? Porque τ é o período da função....ou seja, como a função cosseno é periódica e se repete a cada período, se eu pegar um tempo que seja t + o período, eu estarei tomando uma repetição dessa função...

Sacou?(:.

Então:

x t + τ = e - γ ( t + τ ) 2 A c o s ω 0 2 - γ 2 4 ( t + τ ) + ∅ = e - γ ( t + τ ) 2 A c o s ω 0 2 - γ 2 4 ( t ) + ∅

Ok! Vamos fazer o quociente x t + τ x t agora:

x t + τ x t = e - γ t + τ 2 A c o s ω 0 2 - γ 2 4 t + ∅ e - γ t 2 A c o s ω 0 2 - γ 2 4 t + ∅ = e - γ t + τ 2 e - γ t 2

Fazendo a divisão das exponenciais:

e - γ t + τ 2 e - γ t 2 = e - γ τ 2

Agora só falta substituir o valor de τ :

e - γ τ 2 = e 1 2 - γ 2 π ω 0 2 - γ 2 4 = e - γ π ω 0 2 - γ 2 4

∴

= exp ⁡ - γ π ω 0 2 - γ 2 4

Resp: b)

Resposta

b)

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