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Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo III, P1 - Profº Claudio Plinio - 2019.2, Questão 4a

a)Calcule o rotacional do campo vetorial: F   ( x ,   y ,   z )   =   ∇ f , onde f   ( x ,   y ,   z )   =   l n ( x ² +   y ² +   z ² ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular o rotacional de um campo vetorial que é gradiente de uma função escalar. Primeiro, vamos relembrar como a gente calcula o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de um campo F ( x , y , z ) = F x ,   F y ,   F z é um outro campo vetorial com componentes

∇ × F =   ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y   î - ∂ ∂ x F z - ∂ ∂ z F x   ĵ + ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x   k

Então, já sabemos que vamos ter que calcular as derivadas parciais das componentes de F. Mas primeiro, vamos calcular quem é o campo vetorial F, que é dado pelo gradiente da função f(x, y, z). Então vamos lá!

Passo 2

Como o gradiente de uma função é o vetor com componentes:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Precisamos calcular as derivadas parciais de f. Calculando a derivada em relação à x, considerando y e z constantes, obtemos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x l n ( x ² +   y ² +   z ² ) = 2 x x ² + y ² + z ²

Agora, para calcular a componente y, derivamos em relação à y, considerando x e z constantes. Assim obtemos:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y l n ( x ² +   y ² +   z ² ) = 2 y x ² + y ² + z ²

Finalmente, para z, fazendo x e y constante, obtemos

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z l n ( x ² +   y ² +   z ² ) = 2 z x ² + y ² + z ²

Então o campo F é um campo com componentes:

F   =   1 x ² + y ² + z ² 2 x ,   2 y , 2 z

Então, agora podemos calcular o rotacional do gradiente de F! Então bora lá!

Passo 3

Como o rotacional de um campo vetorial possui componentes

∇ × F =   ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y   î - ∂ ∂ x F z - ∂ ∂ z F x   ĵ + ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x   k

E, como as componentes do campo vetorial F nada mais são do que as derivadas parciais de f em relação à alguma variável, percebemos uma propriedade muito importante do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é sempre nulo! Mas por quê, você deve estar se perguntando? Bem, vamos dar uma olhada na primeira componente do rotacional:

∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y

A gente sabe que a componente F z é dada pela derivada de f em relação a z, F z =   ∂ f ∂ z , e a componente F y é dada por F y =   ∂ f ∂ y . Então, a primeira componente do rotacional nada mais é do que

∂ ∂ y ∂ f ∂ z - ∂ ∂ z ∂ f ∂ y = ∂ ² f ∂ y ∂ z - ∂ ² f ∂ z ∂ y

Só que a gente sabe que as derivadas parciais de uma função comutam! Então, derivar primeiro em relação à z e depois em relação à y ou fazer isso na ordem oposta não faz diferença! Então

∂ ∂ y ∂ f ∂ z - ∂ ∂ z ∂ f ∂ y = ∂ ² f ∂ y ∂ z - ∂ ² f ∂ z ∂ y = 0

A mesma coisa vale para as outras componentes do rotacional

∂ ∂ x F z - ∂ ∂ z F x = ∂ ² f ∂ x ∂ z - ∂ ² f ∂ z ∂ x = 0

∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x = ∂ ² f ∂ x ∂ y - ∂ ² f ∂ y ∂ x = 0

Então, nem precisamos calcular o rotacional do gradiente da função f dada, a gente sabe que é zero, pois o rotacional de um gradiente é sempre nulo!

Resposta

∇ × ∇ f = 0

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