UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2015.2 – Questão 4
A curva Astróide é constituída dos pares para os quais
Determine o ponto da astróide mais próximo da origem, e o ponto da astróide mais distante da origem. Calcule a distância entre cada um desses pontos e a origem.
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Para calcularmos a distância entre dois pontos, usaremos:
Vamos começar calculando a distância mais pr��xima da origem . Como a origem tem o ponto:
Logo:
Passo 2
Show, mas como estamos falando de distância, precisamos da derivada parcial da nossa função distância, então:
Logo:
Ok, mas também temos a nossa restrição, que é justamente a nossa curva Astróide:
Vamos dar uma arrumada nela:
Aqui nós também vamos precisar calcular o gradiente, então:
Agora teremos que aplicar o multiplicador de Lagrange e igualar com a nossa função distância:
Igualando cada componente e trazendo a nossa restrição, vamos montar um sistema:
Passo 3
Show, já temos nosso sistema montado, vamos começar a trabalhar em cima dele:
Vamos dividir por 2 tanto na esquerda quanto na direita nas duas primeiras equações:
Agora vamos cortar o de cada lado da primeira equação e o de cada lado da segunda equação:
Vamos ajustar um pouco mais:
Reparem que podemos igualar as 2 primeiras equações:
Sabendo disso, podemos usar a terceira equação:
Logo:
Logo teremos os pontos:
Com isso, podemos calcular a distância:
Como o termo está ao quadrado, podemos ignorar o sinal:
Passo 4
Show, já temos o ponto referente a menor distância. Agora temos que encontrar o ponto de maior distância. Bom, para isso, nós temos que olhar para os eixos da nossa curva.
No caso, para termos a maior distância possível para a nossa função acima, nós temos que zerar uma das nossas variáveis, então:
Para
Logo:
Da mesma forma, vamos fazer ao contrário. Para :
Logo:
Substituindo na nossa fórmula da distância: