Diagonalização de Formas Quadradas no R2
Seja
- Classifique a matriz , associada a forma quadrática
- Encontre uma matriz ortogonal
- Escreva a equação paramétrica da reta normal a cônica no ponto .
Como estritamente positiva definida ou estritamente negativa definida ou indefinida. Justifique sua resposta.
Tal que, suas colunas são compostas pelos vetores unitários diretores dos eixos das cônicas . Sabendo que através de mudança de coordenadas
(ou seja, tomando e ), podemos reescrever na forma
Explicite o valor das constantes reais , e e classifique a cônica como uma elipse ou uma hipérbole, justificando a resposta.
Passo 1
a)
Vamos reescrever a forma quadrática na forma matricial:
Logo:
Vamos calcular os autovalores de . Pra uma matrix podemos fazer dessa forma:
Aqui temos:
Logo:
Os autovalores de , tem sinais opostos, portanto a matriz é indefinida.
Passo 2
b)
Vamos começar escrevendo na forma matricial:
Agora vamos achar a matriz . Ela tem que ter vetores unitários diretores dos eixos das cônicas nas suas colunas. Mas esse vetores não são nada mais que os autovetores da matriz ! Com:
E já sabemos os autovalores da : e . Lembrando que para achar os autovetores de uma matriz , temos que resolver o sistema:
onde é a matriz identidade. Então partiu!
Passo 3
E como queremos um autovetor unitário, temos que ter:
Digamos que . Então vamos ter .
Passo 4
Show! Agora vamos procurar o autovetor associado ao autovalor :
O resto vai ser bem parecido ao último autovetor:
Se , então .
Passo 5
Beleza! Achamos os autovetores e ! Então nossa matriz vai ser:
Passo 6
Agora temos que reescrever a função na forma tal que:
E pra escrever isso na forma matricial, vamos precisar da matriz diagonal de autovalores da . (Se você não lembrar muito bem disso, dá uma olhada lá na teoria que tá super bem explicado!) :
Logo:
Portanto, , e .
E agora só resta dizer se a cônica é uma elipse ou uma hipérbole!
Aqui basta dizer simplesmente que como os autovalores de têm sinais opostos, vamos ter uma hipérbole :)
Passo 7
c)
Queremos a equação paramétrica da reta normal a cônica no ponto . Pra isso, só precisamos de um vetor diretor desse reta, ou seja, um vetor normal à cônica nesse ponto. Opa, falou em vetor normal, falou em gradiente! De fato, é um vetor normal à curva de nível no ponto .
Passo 8
Então vamos calcular o gradiente da ! Temos:
Logo:
No ponto vai ser:
Portanto, o gradiente da nesse ponto é:
Show! Então uma parametrização pra reta normal à cônica no ponto é:
Resposta
a) Indefinida
b)
- , e .
- A cônica é uma hipérbole.
c)