A reta é normal ao cone de equação num ponto e é, também, normal ao elipsoide de equação no ponto .

a) Determine uma equação da reta .

b) Determine as coordenadas do ponto .

Show! Agora que temos o vetor diretor da reta e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos parametriza-la por:

Essa primeira foi simples, né?

Agora vamos descobrir que ponto é esse? Bom, a reta passar de maneira perpendicular pelo cone também, certo? Então também tem direção paralela ao vetor gradiente do cone! Isso vai ser útil, então, calculemos o gradiente dele!

Aí está o vetor gradiente :)

Agora, pensemos o seguinte, o ponto está na reta, certo? Então ele será sempre dado pela equação da própria, por um parâmetro em específico! Então, temos que:

Colocando o ponto no vetor gradiente, teremos:

Estamos quase!! Agora, que outra informação nós temos ainda? Sabemos que esse vetor gradiente é paralelo ao vetor diretor da reta, que é ! Isso significa que esses dois vetores são múltiplos:

Assim, temos o sistema:

Que tem duas equações e duas incógnitas.

Podemos isolar o na ultima equação:

E substituir na primeira:

Substituindo esse valor para o parâmetro em , temos: