Seja f(x, y) = (2 * x^2 + 4 * y^2) / (x^2 + y^2 + 1)

d) Seja Γ : [0,2π] → R^3 dada por Γ(t) = (sen(t), cos(t), z(t)) . Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f, encontre o vetor tangente a Gamma em Γ(π / 3) .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e hoje iremos dar inicio a resolução dessa querida questão. Precisamos encontrar um vetor tangente Γ em Γ π 3 . Primeiro, quem é Γ π 3 ? Vamos descobrir

Γ π 3 = sin ⁡ π 3 , cos ⁡ π 3 ,   z t

Temos que z t = f sin ⁡ t , cos ⁡ t

Substituindo

z t = 2 sin 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 1 = 2 + 2 cos 2 ⁡ t 2 = cos 2 ⁡ t + 1

Passo 2

Agora completando Γ

Γ π 3 = sin ⁡ π 3 , cos ⁡ π 3 ,   cos 2 ⁡ π 3 + 1

A tangente em um ponto é Γ '

Γ ' π 3 = cos ⁡ π 3 , - sin ⁡ π 3 ,   - sin ⁡ 2 x

= 1 2 ,   - 3 2 ,   - 3 2

Resposta

= 1 2 ,   - 3 2 ,   - 3 2

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