Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Plano Tangente e Reta Normal
A reta é normal ao cone de equação num ponto e é, também, normal ao elipsoide de equação no ponto .
a) Determine uma equação da reta .
b) Determine as coordenadas do ponto .
Passo 1
Se a reta é normal ao elipsoide, então ela tem vetor diretor múltiplo do vetor gradiente dele! Então, o primeiro passo é derivar a equação do elipsoide e ver que gradiente é esse:
E, agora, só precisamos colocar o ponto no qual a reta passa, :
Passo 2
Show! Agora que temos o vetor diretor da reta e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos parametriza-la por:
Essa primeira foi simples, né?
Passo 3
Agora vamos descobrir que ponto é esse? Bom, a reta passar de maneira perpendicular pelo cone também, certo? Então também tem direção paralela ao vetor gradiente do cone! Isso vai ser útil, então, calculemos o gradiente dele!
Aí está o vetor gradiente :)
Passo 4
Agora, pensemos o seguinte, o ponto está na reta, certo? Então ele será sempre dado pela equação da própria, por um parâmetro em específico! Então, temos que:
Colocando o ponto no vetor gradiente, teremos:
Passo 5
Estamos quase!! Agora, que outra informação nós temos ainda? Sabemos que esse vetor gradiente é paralelo ao vetor diretor da reta, ! Isso significa que a razão entre pares de dimensões é sempre a mesma para ambos os vetores!
Por exemplo, se , então temos que , entendeu? Se pegarmos a terceira coordenada de cada um, dividida por outra, nesse caso, a primeira, teremos a mesma proporção!
Sendo assim, se pegarmos o vetor gradiente e esse vetor diretor da reta, dividindo a terceira pela primeira coordenadas em cada um, teremos a proporção:
E agora, resolvendo a equação, temos:
Substituindo esse valor para o parâmetro em , temos:
Resposta
a)
b)