Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação
No qual a reta normal é perpendicular ao plano
Passo 1
Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.
Começando pela superfície!!
Passo 1: Encontrar o ponto
O ponto é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Vamos agora para o vetor normal ao plano dado.
Calculando gradiente:
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 9
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 10
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 11
Calcular gradiente de :
Passo 12
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 13
O vetor normal será :
Passo 14
Vamos ver agora o que significa eles serem proporcionais. Seria dizer que temos um que faz o seguinte papel
Sacou? Não faz diferença colocar na direita ou na esquerda.
Isso dos diz que
Passo 15
Mas o que fazer com isso?
Lembra que o ponto pertence a superfície que ele deu? Isso nos diz que
Vamos trocar cada valor pela relação com e encontrar , as relações são
Substituindo isso na equação da curva vai ser
Igualando os denominadores
Passo 16
Beleza mas qual ? Lembra láááááá no enunciado que ele falava que precisa estar no primeiro octante? Isso diz que todas as componentes do ponto precisam ser positivas.
Dessa forma só podemos ter , isso diz que os pontos é
O ponto vai ser