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Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície

sen ⁡ x y + sen ⁡ y z + sen ⁡ x z = 1

Contendo o ponto P = 1 , π 2 , 0

Passo 1

Para acharmos o plano tangente e a reta normal a primeira coisa que fazemos é

F x , y , z = sen ⁡ x y + sen ⁡ y z + sen ⁡ x z - 1

Agora devemos achar o gradiente dessa função

∇ F = y cos ⁡ x y + z cos ⁡ x z , z cos ⁡ y z + x cos ⁡ x y , y cos ⁡ y z + x cos ⁡ x z

Devemos achar agora o gradiente no ponto

∇ F 1 , π 2 , 0 = π 2 cos ⁡ 1 . π 2 + 0 cos ⁡ 1.0 , 0 cos ⁡ π 2 . 0 + 1 cos ⁡ 1 . π 2 , π 2 cos ⁡ π 2 . 0 + 1 cos ⁡ 1.0

∇ F 1 , π 2 , 0 = π 2 cos ⁡ π 2 , cos ⁡ π 2 , π 2 cos ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 0,0 , π 2 + 1

O vetor normal vai ser

n → = 0,0 , π 2 + 1

Passo 2

O plano tangente vai ser

x , y , z ∙ n → = n → ∙ 1 , π 2 , 0  

x , y , z ∙ 0,0 , π 2 + 1 = 0,0 , π 2 + 1 ∙ 1 , π 2 , 0  

π 2 + 1 z = 0

z = 0

Passo 3

A reta normal vai ser

σ t = 1 , π 2 , 0 + t n →

σ t = 1 , π 2 , 0 + t 0,0 , π 2 + 1

σ t = 1 , π 2 , t π 2 + 1

Resposta

Plano tangente:

z = 0

Reta normal:

σ t = 1 , π 2 , t π 2 + 1

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