UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 2b.
2 - Considere a superfície .
b) Determine as equações paramétricas da reta que é normal à superfície no ponto .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Essa questão é muito comum em provas e listas de cálculo, então é fundamental compreender bem os conceitos que estão relacionados ao assunto.
O objetivo da questão é calcular as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto .
Perai! o que?? Equação paramétrica?? Reta normal?? Como podemos calcular tudo isso? 🤔🤔
Relaxa! É mais tranquilo do que parece.
Você consegue imaginar a superfície gerada pela equação que vamos chamar de ? A não ser que você seja a reencarnação do Albert Einstein misturado com Nikola Tesla, imagino que não.
Essa superfície não é tão comum, mas independente dela, lembra que o vetor gradiente de será normal a ela? Então, a primeira coisa que precisamos fazer é determinar o vetor gradiente de .
Ok, mas e essa equação paramétrica?
Essa equação é dada pela equação de uma reta, dada por
Por fim, percebeu esse ? então, esse vai ser nosso vetor normal. Ele será encontrado quando substituirmos no gradiente de .
Está entendendo? Vamos para os cálculos então! 🐱👤
Passo 2
A função é e o ponto em que queremos a reta normal, passa por .
Primeiro calculamos o vetor gradiente, dado por . Aqui derivamos a função com relação a , e , uma de cada vez. Podemos escrever também, como
Calculando as derivadas parciais que compõem o vetor gradiente de , temos
Nosso vetor gradiente da função será então
O próximo passo é substituir as variáveis desse nosso vetor gradiente pelos valores de . Por exemplo, substituímos pelo seu valor em , que é , por e por , dessa forma encontrando nosso vetor normal.
ou
Ta acompanhando? 👀
Passo 3
Por fim, a gente substitui na fórmula que vimos no início.
Substituindo e pelas suas coordenadas, temos
Assim formando um vetor de retas
é dado pelo primeiro componente, pelo segundo componente e pelo terceiro.
Assim temos três retas normais à superfície no ponto , dadas por
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁