Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Considere a superfície cônica Ω cuja diretriz é a curva

γ :   x 2 - 3 z 2 + 3 = 0 y - 3 = 0

a) Determine uma equação livre de parâmetros para Ω .

b) Lembrando que uma superfície cônica é a união das retas que passam pelo vértice e por algum ponto da curva-diretriz, decida se cada uma das retas r : X = λ ( 3 ,   0 ,   1 ) e s : X = λ 3 ,   1 , 2 3 está ou não contida em Ω . Caso esteja, determine o ponto da curva-diretriz que a reta contém.

Passo 1

Para que um ponto X = ( x ,   y ,   z ) pertença a Ω , deve existir um ponto Q de γ tal que V Q → = λ V X → . Logo temos as condições

u 2 - 3 w 2 + 3 = 0 v = 3 → λ y = 3 → λ = 3 y ; y ≠ 0 u = λ x → u = 3 x y v = λ y w = λ z → w = 3 z y

Daí temos que

3 x y 2 - 3 3 z y 2 + 3 = 0

Como y ≠ 0 , temos

x 2 + y 2 - 3 z 2 = 0

Passo 2

b) Bem, todos os pontos da curva γ estão no plano y = 3 . A reta r está no plano y = 0 , portando não está contida em Ω .

A reta s só vai passar por um ponto de γ se o ponto obtido com y = λ = 3 pertencer a γ .

Para λ = 3 temos o ponto de s dado por ( 3 ,   3 ,   2 ) , e esse ponto verifica a equação x 2 - 3 z 2 + 3 = 0 certo?

Então s está contida em Ω pois ela passa pelo vértice de Ω (origem) e por ( 3 ,   3 ,   2 ) .

Resposta

a) x 2 + y 2 - 3 z 2 = 0

b) Todos os pontos da curva γ estão no plano y = 3 . A reta r está no plano y = 0 , portando não está contida em Ω .

A reta s só vai passar por um ponto de γ se o ponto obtido com y = λ = 3 pertencer a γ .

Para λ = 3 temos o ponto de s dado por ( 3 ,   3 ,   2 ) , e esse ponto verifica a equação x 2 - 3 z 2 + 3 = 0 certo?

Então s está contida em Ω pois ela passa pelo vértice de Ω (origem) e por ( 3 ,   3 ,   2 ) .

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
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