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Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Obtenha uma equação da superfície gerada pela parábola

C : z = y 2 - 1 x = 0

Quando gira em torno de O y .

Passo 1

Para finalizar nosso estudo sobre superfícies vamos fazer mais um exercício sobre superfícies de revolução!!!

Esse exercício é muito parecido com o anterior. O que muda é que não nos foi dado explicitamente o vetor diretor e um ponto pertencente à reta de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar as informações sobre a reta de revolução. A reta é o eixo O y . Quando estudamos “Planos e Retas” vimos que a equação do eixo O y pode ser escrita da seguinte forma:

x , y , z = 0,0 , 0 + t 0,1 , 0

Assim, temos que:

r → = 0 ,   1 ,   0 = ( m ,   n ,   p )

C = 0 ,   0 ,   0 = ( h ,   k ,   l )

Pronto, já temos as informações da reta que precisamos. Agora, é juntar todas as informações com a teoria!!

Passo 3

Para achar a equação da superfície devemos satisfazer as equações:

m x + n y + p z = λ ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2

f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Susbtituindo com os valores e expressões do nosso problema temos:

y = λ x 2 + y 2 + z 2 = μ 2

f x ,   y ,   z = z - y 2 + 1 = 0 g ( x ,   y ,   z ) = x = 0

Passo 4

Com as relações acima chegamos no seguinte sistema:

y = λ   1 x 2 + y 2 + z 2 = μ 2   2 z - y 2 + 1 = 0   3 x = 0   4

Susbtituindo a relação ( 4 ) em ( 2 ) e a relação ( 1 ) em ( 3 ) , temos o sistema:

y = λ   5 λ 2 + z 2 = μ 2   6 z - λ 2 + 1 = 0   7 x = 0   8

Da relação ( 7 ) , temos:

z = λ 2 - 1

Susbituindo a relação acima em ( 6 ) :

λ 2 + ( λ 2 - 1 ) 2 = μ 2

Rearranjando,

λ 4 - λ 2 + 1 - μ 2 = 0

Susbtituindo as expressões 1 e ( 2 ) temos a expressão da superfície:

y 4 - y 2 + 1 - ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0

y 4 - x 2 - 2 y 2 - z 2 + 1 = 0

Ufaa!!Terminamos!!!

Resposta

y 4 - x 2 - 2 y 2 - z 2 + 1 = 0

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
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Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.
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