Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica que tem vértice na origem e diretriz à curva Γ : - x 2 + y 2 = 4 z = 2

Passo 1

Seja X = ( x ,   y ,   z ) . Para que X pertença à cônica Ω , deve existir um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) pertencente a Γ tal que V = ( 0 ,   0 ,   0 ) , Q e X sejam colineares, ou seja:

V X → = λ V Q →

x ,   y ,   z = λ ( u ,   v ,   w )

Isso nos dá o sistema:

x = λ u y = λ v z = λ w

Passo 2

Além disso, também temos que levar em conta que para que Q pertença a Γ , ele deve cumprir que:

- u 2 + v 2 = 4 w = 2

Se λ ≠ 0 no sistema do passo 1, teremos

u = x λ

v = y λ

w = z λ = 2

Passo 3

Da terceira igualdade, temos

λ = z 2

Substituindo λ nas outras igualdades:

v = 2 y z

u = 2 x z

Para que Q pertença a Γ :

- u 2 + v 2 = 4

- 4 x 2 z 2 + 4 y 2 z 2 = 4

- 4 x ² + 4 y ² = 4 z ²

Então, a superfície vai ser o cone de revolução:

- x 2 + y 2 - z 2 = 0

Resposta

- x 2 + y 2 - z 2 = 0

Exercícios Resolvidos de Superfícies

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