Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica que tem diretriz
e vértice . Observe se todos os pontos de são dados pela equação obtida.
Passo 1
A cônica é a união das retas que passam por e por algum ponto genérico de : .
Beleza, mas qualquer ponto da cônica vai pertencer a uma tal reta, ou seja, . Portanto, temos o seguinte sistema para eliminar os parâmetros , , e :
A equação que obtemos, que é livre de parâmetros, não é verdadeira para o vértice .
Logo, consiste do ponto e dos pontos tais que
Multiplicando essa equação por , teremos
Fazendo nessa equação, teremos
Que é a equação da cônica .
Resposta
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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2
Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.
Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 2 x 2 + y 2 - 4 x y - 4 y z