Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a intersecção da esfera com o plano e cujas diretrizes são paralelas ao eixo .

Passo 1

a) A diretriz de é a intersecção da esfera com o plano, logo, vai ser dada pelo seguinte sistema:

Vamos supor um ponto que pertence a .

Pelas condições do enunciado, deve existir um ponto pertencente a que satisfaça a condição de que paralelo ao eixo , ou seja : , onde é o vetor diretor unitário do eixo , ou seja, .

Passo 2

Sabemos que , ou seja:

Substituindo os pontos e :

O que nos dá:

Passo 3

Beleza, a gente sabe que pertence a , então a gente pode substituir as coordenadas de (dadas no sistema ) no sistema , assim olha:

Substituindo em :

Isolando na equação de baixo:

Agora vamos substituir isso na equação de cima:

Então, por fim, a equação vai ficar assim:

Resposta

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .

Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2

Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.

Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 2 x 2 + y 2 - 4 x y - 4 y z