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Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P3 – Questão 4

Determine uma equação livre de parâmetros para as seguintes superfícies:

  1. Superficie de revolução Ω obtida de Τ em torno a r , onde:

    2. Τ : x 2 - y 2 = 1 z = 2   e   r : X = 0,0 , 2 + λ 1,0 , 0

  2. Superfície cônica dada pelo vértice V = ( 0,1 , 0 ) e pela curva

Τ : x 2 + y 2 = 1 z = 3

Passo 1

a)

Pra poder fazer a revolução de Τ em torno de r , a gente tem que pegar um ponto e uma direção para o eixo de rotação, saca? Bom, nesse caso, a gente pode pegar o ponto “origem” da reta r e seu vetor diretor! Assim, o ponto vai ser ( 0 , 0,2 ) e o diretor r → = ( 1,0 , 0 ) . A nossa hipérbole que gera Τ tem seu eixo sobre o eixo x , e a nossa rotação é no eixo x . Isso vai formar um hiperboloide, e as seções dela no eixo z vai formar circunferências paralelas ao plano y z . As equações da seção são:

x 2 + y 2 + z - 2 2 = μ 2 x = λ

Daí, um ponto Q = u , v , w pertence à interseção de um paralelo com T se, e somente se,

u 2 - v 2 = 1 w = 2 u 2 + v 2 + w - 2 2 = μ 2 u =   λ     ⇔   v 2 =   λ 2 - 1 w = 2 u 2 + v 2 = μ 2 u =   λ   ⇔     w = 2 u =   λ v 2 =   λ 2 - 1 μ 2 =   2 λ 2 - 1

Note que o sistema tem solução se, e somente se, λ 2 ≥ 1 . Além disso, da última igualdade, λ 2 ≥ 1 ⇔ μ 2 ≥ 1 .

Desse modo,

Ω   : x 2 + y 2 + z - 2 2 = μ 2 = 2 λ 2 - 1 = 2 x 2 - 1

Que é a mesma coisa que

Ω   : x 2 - y 2 - z - 2 2 = 1

Para x 2 ≥ 1 .

Passo 2

b)

Vamos lá! Temos que um ponto P = x , y , z ∈ Ω   ( P ≠ V ) se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w ∈ T tal que Q = V + λ V X → . Sendo assim,

u = λ x v = 1 + λ ( y - 1 ) w = λ z

Beleza?! Como Q ∈ T , temos que

u 2 + v 2 = 1 w = 3

E, consequente, λ x 2 + 1 + λ y - 1 2 = 1 , em que λ = 3 z . Logo, uma equação livre de parâmetros para a superfície desejada é

Ω   : 3 x 2 + 3 y - 1 2 + 2 z ( y - 1 ) = 0

Show de bola?!

Resposta

  1. Ω   : x 2 - y 2 - z - 2 2 = 1 , para x 2 ≥ 1 (um hiperbolóide de duas folhas)

  2. Ω   : 3 x 2 + 3 y - 1 2 + 2 z ( y - 1 ) = 0

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