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Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – Segunda Chamada – Questão 5

Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Τ :   x + y + z = 0 x - y - z = 2 em torno da reta r : X = - 1 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Passo 1

Precisamos escolher um centro pras superfícies esféricas geradas, pra podermos estabelecer a equação do paralelo. A gente pode pegar o ponto C = ( - 1 ,   0 ,   0 ) da reta r ! A equação do paralelo vai ser a interseção da superfície esférica, com centro em C , com um plano que tem o vetor normal na mesma direção de r → . Por isso, a gente define o paralelo por:

x + 1 2 + y 2 + z 2 = μ 2 z = λ

Se um ponto Q = ( u , v , w ) estiver em Τ e no paralelo, ele satisfaz todas as equações!

u + 1 2 + v 2 + w 2 = μ 2 w = λ u + v + w = 0 u - v - w = 2

Somando as duas últimas:

2 u = 2

u = 1

Como, w = λ , pela segunda equação, vamos substituir isso na terceira:

1 + v + λ = 0

v = - 1 - λ

Passo 2

Vamos voltar com isso na primeira equação:

1 + 1 2 + - 1 - λ 2 + λ 2 = μ 2

μ 2 = 4 + λ 2 + 2 λ + 1 + λ 2

μ 2 = 2 λ 2 + 2 λ + 5

Esse lado direito é uma parábola voltada pra cima, com Δ = 4 - 4 ⋅ 2 ⋅ 5 < 0 , e portanto, sempre positivo! Isso quer dizer que não temos restrição nenhuma.

Passo 3

O nosso paralelo é então:

x + 1 2 + y 2 + z 2 = 2 λ 2 + 2 λ + 5 z = λ

x + 1 2 + y 2 + z 2 = 2 z 2 + 2 z + 5

Arrumando isso aí:

x + 1 2 + y 2 - z 2 - 2 z - 1 = 4

x + 1 2 + y 2 - z + 1 2 = 4

x + 1 2 4 + y 2 4 - z + 1 2 4 = 1

Esse é um hiperboloide de uma folha!

Resposta

x + 1 2 4 + y 2 4 - z + 1 2 4 = 1

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