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Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – PF – Questão 5

Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução Ω obtida de Τ em torno de r , onde

Τ :   x 2 + y 2 - z + 1 2 = 0 y - z = 0

r : X = 0 ,   - 1 2 , - 1 2 + λ ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 1

Pra achar a rotação da superfície, a gente tem que escolher um ponto e a direção do eixo que vamos rodar. Bom, me parece que vai ser útil escolher o ponto que a gente já conhece da reta r , né? Então o nosso ponto vai ser 0 ,   - 1 2 ,   - 1 2 , e a direção do eixo é r → = ( 0 ,   1 ,   1 ) . Vamos então usar aquele conceito do paralelo. Um paralelo pra nossa situação vai ser:

x - 0 2 + y - - 1 2 2 + z - - 1 2 2 = μ 2 y + z = λ

Passo 2

Beleza! Então se a gente tem um ponto Q = ( u , v , w ) que pertence tanto ao paralelo quanto a Τ , as coordenadas dele vão servir em todas as equações. Vamos ficar com esse baita sistema aqui:

u 2 + v + 1 2 2 + w + 1 2 2 = μ 2 v + w = λ u 2 + v 2 - w + 1 2 = 0 v - w = 0

Juntando a segunda e a quarta equações, a gente já descobre que v = w = λ 2 . Vamos substituir isso na terceira:

u 2 + λ 2 2 - λ 2 + 1 2 = 0

u 2 = λ 2 4 + λ + 1 - λ 2 4

u 2 = λ + 1

Mas o quadrado de um número é sempre maior que zero, né? Então...

u 2 ≥ 0 → λ + 1 ≥ 0

λ ≥ - 1

Passo 3

Voltando lá na nossa primeira equação, vamos obter:

u 2 + v + 1 2 2 + w + 1 2 2 = μ 2

λ + 1 + λ + 1 2 2 + λ + 1 2 2 = μ 2

μ 2 = λ 2 + 4 λ + 3 2

Substituindo λ por y + z , pela equação do enunciado, vai ficar:

μ 2 = y + z 2 + 4 y + z + 3 2

Pra fechar, substitui isso na equação do paralelo.

x 2 + y + 1 2 2 + z + 1 2 2 = μ 2

x 2 + y + 1 2 2 + z + 1 2 2 = y + z 2 + 4 y + z + 3 2 2

Com y + z ≥ - 1 , já que a soma é igual a λ . Pronto, chegamos na nossa equação sem parâmetros!

Resposta

x 2 + y + 1 2 2 + z + 1 2 2 = y + z 2 + 4 y + z + 3 2 2

y + z ≥ - 1

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