UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – PF – Questão 5
Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução obtida de em torno de , onde
Passo 1
Pra achar a rotação da superfície, a gente tem que escolher um ponto e a direção do eixo que vamos rodar. Bom, me parece que vai ser útil escolher o ponto que a gente já conhece da reta , né? Então o nosso ponto vai ser , e a direção do eixo é . Vamos então usar aquele conceito do paralelo. Um paralelo pra nossa situação vai ser:
Passo 2
Beleza! Então se a gente tem um ponto que pertence tanto ao paralelo quanto a , as coordenadas dele vão servir em todas as equações. Vamos ficar com esse baita sistema aqui:
Juntando a segunda e a quarta equações, a gente já descobre que . Vamos substituir isso na terceira:
Mas o quadrado de um número é sempre maior que zero, né? Então...
Passo 3
Voltando lá na nossa primeira equação, vamos obter:
Substituindo por , pela equação do enunciado, vai ficar:
Pra fechar, substitui isso na equação do paralelo.
Com , já que a soma é igual a . Pronto, chegamos na nossa equação sem parâmetros!